50 БАЛЛОВ ПОМОГИТЕ
Напиши уравнение прямой ax+by+c=0, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A(2;1) и B(9;9).
(В первое окошко пиши положительное число. Числа в ответе сокращать не нужно!)
__⋅x+__⋅y+__=0
Ответы
Ответ:
14у + 12х -139 = 0
Пошаговое объяснение:
Сначала прямая L₁ через точки A(1;3) и B(7;10).
Каноническое уравнение прямой:
\begin{gathered}\displaystyle \frac{x-x_A}{x_B-x_A} =\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\\\\\\\frac{x-1}{7-1} =\frac{y-3}{10-3} ; \qquad \boldsymbol{\frac{x-1}{6} =\frac{y-3}{7}}\end{gathered}
x
B
−x
A
x−x
A
=
y
B
−y
A
y−y
A
7−1
x−1
=
10−3
y−3
;
6
x−1
=
7
y−3
Мы получили каноническое уравнение прямой L₁, проходящей через точки A(1;3) и B(7;10).
Но нам понадобится уравнение прямой с угловым коэффициентом, потому что дальше мы будем писать уравнение прямой L₂, перпендикулярной к L₁.
Итак, уравнение прямой L₁ с угловым коэффициентом
\displaystyle 7(x-1) = 6(y-3) \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol {y=\frac{7}{6}x +\frac{11}{6} }7(x−1)=6(y−3)⇒y=
6
7
x+
6
11
Теперь, если мы через середину отрезка АВ проведем прямую L₂ , перпендикулярную к прямой L₁, то все точки этой прямой L₂ будут находиться на равных расстояниях от точек A(1;3) и B(7;10).
Итак, середина отрезка АВ
\begin{gathered}\displaystyle x_C=\frac{x_A+x_B}{2} =\frac{1+7}{2} =4\\\\\\y_C = \frac{y_A+y_B}{2} =\frac{3+10}{2} =6.5\\\\\end{gathered}
x
C
=
2
x
A
+x
B
=
2
1+7
=4
y
C
=
2
y
A
+y
B
=
2
3+10
=6.5
- середина отрезка АВ - это точка С(4; 6,5)
Теперь прямая, проходящая через точку С(4; 6,5) перпендикулярно прямой L₁ \displaystyle y=\frac{7}{6}x +\frac{11}{6}y=
6
7
x+
6
11
.
Если прямые у₁ = k₁x+b₁ и y₂ = k₂x+b₂ перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны формулой \displaystyle k_2=-\frac{1}{k_1}k
2
=−
k
1
1
.
Следовательно мы можем написать уравнение прямой L₂, проходящей через точку С(4; 6,5) перпендикулярно прямой L₁.
Угловой коэффициент искомой прямой L₂ равен
\displaystyle k_2=-\frac{1}{k_1}= -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{7/6} =-\frac{6}{7}k
2
=−
k
1
1
=−
k
1
1
=−
7/6
1
=−
7
6
И чтобы эта прямая прошла через точку С(4; 6,5), подставим координаты точки в уравнение прямой и найдем b.
\begin{gathered}\displaystyle 6.5 = -\frac{6}{7} *4+b;\\\\b = 6\frac{1}{2} +\frac{24}{7} =\frac{13}{2} +\frac{24}{7} = \frac{139}{14}\end{gathered}
6.5=−
7
6
∗4+b;
b=6
2
1
+
7
24
=
2
13
+
7
24
=
14
139
Вот, наконец, мы получили уравнение прямой, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A(1;3) и B(7;10). Но получили мы его в виде уравнения с угловым коэффициентом.
\displaystyle y =-\frac{6}{7} x+\frac{139}{14}y=−
7
6
x+
14
139
Теперь представим это уравнение прямой в общем виде
\begin{gathered}\displaystyle y =-\frac{6}{7} x+\frac{139}{14};\\\\\\y+\frac{6}{7} x-\frac{139}{14}=0;\\\\14y+12x-139=0\end{gathered}
y=−
7
6
x+
14
139
;
y+
7
6
x−
14
139
=0;
14y+12x−139=0
Проверим на координатной плоскости (см рисунок)
ответ
уравнение прямой, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A(1;3) и B(7;10) имеет вид 14у + 12х -139 = 0