Question

помогите решить эту систему, нужно прямо полное решение

Answer 1

Ответ:

$\small(-1;\:1);\: (1;\:-1);\:(-\frac{13}{ \sqrt{133}};\:\frac{1}{ \sqrt{133}});\: (\frac{13}{ \sqrt{133}};\: -\frac{1}{ \sqrt{133}})$

Объяснение:

$\begin{cases} 3 {x}^{2} - 2xy - {y}^{2} = 4 \: \: \small{ \Big| \: \times ( - 1) }\\ {x}^{2} + 3xy + 3 {y}^{2} = 1 \: \: \small{ \Big| \: \times 4 }\end{cases} \\ \begin{cases} - 3 {x}^{2} + 2xy + {y}^{2} = - 4 \\ 4{x}^{2} + 12xy +12{y}^{2} = 4 \end{cases} + \\ \begin{cases} 4 {x}^{2} {- } 3 {x}^{2}{ +}12xy{ + } 2xy{ +}12 {y}^{2}{ +}{y}^{2} = 0 \: \: \: \: \: \: \: (1) \\ 4{x}^{2} + 12xy +12{y}^{2} = 4 \end{cases}$

Очевидно, что

х = 0 не может быть корнем уравнения

у = 0 не может быть корнем уравнения

поэтому - можно преобразовать уравнение (1) системы после упрощения, разделив обе его части на у²:

$4 {x}^{2} {- } 3 {x}^{2}{ +}12xy{ + } 2xy{ +}12 {y}^{2}{ +}{y}^{2} = 0 \\ {x}^{2} + 14xy + 13 {y}^{2} = 0 \: \: \: \: { \Big| \: \: : {y}^{2} } \\ \frac{ {x}^{2} }{ {y}^{2} } + 14 { \cdot}\frac{xy}{ {y}^{2} } + 13 { \cdot} \frac{{y}^{2}}{ {y}^{2}} = 0 \\ \left( \frac{x }{y } \right)^{2} + 14 { \cdot}\frac{x}{y} + 13 = 0$

Замена переменной:

$\: t = \frac{x}{y} \: \: \: \: = > \left( \frac{x }{y } \right)^{2} = {t}^{2} \\ \\ {t}^{2} + 14t + 13 = 0$

По Т. Виетта 2 корня:

$(t + 1)(t + 13) = 0 \\ \left[ \begin{array}{l}t = -1 \\t = -13 \end{array} \right.$

Делаем обратную замену,

затем выразим х через у:

$\left[ \begin{array}{l} \frac{x}{y} = - 1 \\ \frac{x}{y} = - 13 \end{array} \right. < = > \left[ \begin{array}{l} {x}= - y \\x = - 13y \end{array} \right.$

$\small \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} 3 {x}^{2} - 2xy - {y}^{2} = 4 \\ x=-y \end{cases}\\ \begin{cases} 3 {x}^{2} - 2xy - {y}^{2} = 4 \\ x=-13y \end{cases} \end{array} \right. < = > \\ < = > \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} 3 {( - y)}^{2} - 2y {\cdot}( - y) - {y}^{2} = 4 \qquad \: \: \: (2) \\ x=-y \end{cases}\\ \begin{cases} 3 {( -13 y)}^{2} - 2y{\cdot}( - 13y) - {y}^{2} = 4 \: \: \: \: (3) \\ x=-13y \end{cases} \end{array} \right.$

Решаем уравнение (2)

$3 {( - y)}^{2} - 2y {\cdot}( - y) - {y}^{2} = 4 \\ 3 {y}^{2} + 2 {y}^{2} - {y}^{2} = 4 \\ 4 {y}^{2} = 4 \: \: < = > \: \: {y}^{2} = 1 \\ y = \pm \sqrt{1} \: \: < = > \: \: y = \pm1$

$\left[ \begin{array}{l} {y}= 1\\y = -1 \end{array} \right.$

Решаем уравнение (3)

$3 {( -13 y)}^{2} - 2y{\cdot}( - 13y) - {y}^{2} = 4 \\ 3{ \cdot}169 {y}^{2} + 26 {y}^{2} - {y }^{2} = 4 \\ 507 {y}^{2} + 26 {y}^{2} - {y}^{2} = 4 \\ 532 {y}^{2} = 4 \\ {y}^{2} = \frac{4}{532} = \frac{1}{133} \\ y = \pm\frac{1}{ \sqrt{133}}$

$\left[ \begin{array}{l} {y}= \frac{1}{ \sqrt{133}} \\y = -\frac{1}{ \sqrt{133}} \end{array} \right.$

Подставляем значения, найденные при решении уравнений (2) и (3) - соответственно вместо уравнений (2) и (3)

$\small\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x = - y\\ \left[ \begin{array}{l} {y}= 1\\y = -1 \end{array} \right. \end{cases}\\ \begin{cases}x = - 13y \\ \left[ \begin{array}{l} {y}= \frac{1}{ \sqrt{133}} \\y = -\frac{1}{ \sqrt{133}} \end{array} \right. \end{cases} \end{array} \right. < = > \small\left[ \begin{array}{l}\begin{cases} x = - 1 \\ y = 1\end{cases} \\ \begin{cases} x = 1 \\ y = - 1\end{cases} \\ \begin{cases} {x}= - \frac{13}{ \sqrt{133}} \\ {y}= \frac{1}{ \sqrt{133}} \end{cases} \\ \begin{cases} {x}= \frac{13}{ \sqrt{133}} \\ {y}= - \frac{1}{ \sqrt{133}} \end{cases} \end{array} \right.$

$\small(-1;\:1);\: (1;\:-1);\:(-\frac{13}{ \sqrt{133}};\:\frac{1}{ \sqrt{133}}), (\frac{13}{ \sqrt{133}};\: -\frac{1}{ \sqrt{133}})$