Question

Помогите пожалуйста
Решите дифференциальное уравнение: (1+x²)*ydy-(1+y²)*x*dx=0​

Answer 1

Ответ:

$y^{2}=C*(x^{2}+1)-1$

Пошаговое объяснение:

$(1+x^{2})*ydy-(1+y^{2})*x*dx=0\\\\ (1+x^{2})*ydy=(1+y^{2})*x*dx |:(1+x^{2})*(1+y^{2})\\\\\frac{y}{(1+y^{2})} dy=\frac{x}{(1+x^{2})} dx$

Уравнение с разделяющимися переменными

Интегрируем правую и левую часть

$\int\ \frac{y}{(1+y^{2})} dy=\int\ \frac{x}{(1+x^{2})} dx$

$\int\ \frac{y}{(1+y^{2})} dy=\int\ \frac{dy^{2}}{2*(1+y^{2})} =\int\ \frac{d(y^{2}+1)}{2*(1+y^{2})} =\frac{1}{2} ln(y^{2}+1)+C\\\int\ \frac{x}{(1+x^{2})} dx=\int\ \frac{dx^{2}}{2*(1+x^{2})} =\int\ \frac{d(x^{2}+1)}{2*(1+x^{2})} =\frac{1}{2} ln(x^{2}+1)+C$

Для удобства пишем свободный  член  $\frac{1}{2} lnC$

$\frac{1}{2} ln(y^{2}+1)=\frac{1}{2} ln(x^{2}+1)+\frac{1}{2} lnC\\\\ln(y^{2}+1)= ln(x^{2}+1)+lnC\\\\ln(y^{2}+1)= ln(C(x^{2}+1))$

Экспоненцируем

$y^{2}+1=C*(x^{2}+1)\\y^{2}=C*(x^{2}+1)-1$