Question

сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, боковое ребро образует с её основанием угол 45 градус. Найти обьём пирамиды

Answer 1

Т.к. SABC-правильная треугольная пирамида, в основании правильный треугольник
V=1/3*Sосн.*H
Sосн.=(а²√3)/4 (эта формула площади только для правильного треугольника)
Если вокруг треугольника описать окружность, то мы найдем радиус
R=$frac{a}{ sqrt{3} }$=AO
угол SAO=45 градусов, cosA=$frac{AO}{AS}$, AS=$frac{AO}{cos45}$=$frac{a}{ sqrt{3} }$/$frac{ sqrt{2} }{2}$=$frac{a*2}{ sqrt{3}* sqrt{2} }$=$frac{2a}{ sqrt{6} }$
OS-высота  пирамиды и т.к. она правильная то попадает в центр треугольника и центр описанной окружности
треугольник ASO-прямоугольный, то по т. Пифагора OS=$sqrt{ (frac{2a}{ sqrt{6} }) ^{2}-( frac{a}{ sqrt{3} }) ^{2} } = sqrt{ frac{4a ^{2} }{6}- frac{ a^{2} }{3} }= sqrt{ frac{2a ^{2} }{3}- frac{a ^{2} }{3} }= sqrt{ frac{a ^{2} }{3} }= frac{a}{ sqrt{3} }$
V=$frac{1}{3}* frac{ a^{2} sqrt{3} }{4} * frac{a}{ sqrt{3} } = frac{a ^{3} }{12}$