23.Считая, орбиты Земли и Нептуна круговыми, рассчитайте продолжительность года на Нептуне. При решении задачи необходимо учитывать, что Нептун находится дальше от Солнца, чем Земля, в 30,11 раза.
24.Определите массу Урана (в Массах Земли) путем сравнения системы «Уран - Оберон» с системой «Земля - Луна», если Оберон отстоит от Урана на расстоянии 583,5 тыс. км и обращается с периодом 13,5 суток. Массы Луны и Оберона считайте пренебрежимо малыми по сравнению с массами планет
25.Определите афелийное и перигелийное расстояние астероида Матильда, если большая полуось его орбиты равна 2,646 а.е., а эксцентриситет составляет 0,266.
Ответы
Ответ: 23. Продолжительность года на Нептуне ≈ 165,22 земных лет.
24. Масса Урана равна 14,3 масс Земли.
25. Расстояние в афелии ≈ 3,3498 а.е.
Расстояние в перигелии ≈ 1,9422 а.е.
Объяснение: 23. По третьему закону Кеплера отношение квадратов периодов обращения планет вокруг Солнца равно отношению кубов больших полуосей орбит этих планет. Т.е. Тз²/Тн² = Аз³/Ан³, здесь Тз - сидерический период обращения Земли вокруг Солнца = 1 год; Тн - сидерический период обращения Нептуна - надо найти; Аз - большая полуось орбиты Земли = 1 а.е.; Ан - большая полуось орбиты Нептуна = 30,11 а.е. Из закона Кеплера Тн² = Тз²*Ан³/Аз³. Отсюда Тн=√(Тз²*Ан³/Аз³) = √(1²*30,11³/1³) = √30,11³ ≈ 165,22лет.
24. Дано:
Период обращения Луны Т1 = 27,3 суток
Радиус орбиты Луны а1 = 3,844*10^5 км
Период обращения Оберона T2 =13,5 суток
Радиус орбиты Оберона а2 = 5,835*10^5 км
Масса Урана - Му
Масса Земли - Мз
Найти во сколько раз масса Земли меньше массы Урана Му/Мз - ?
Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для двух независимых систем, состоящих из центральных массивных тел и спутников, обращающихся вокруг них, и имеет вид:
Т1² (М1 +m1)/Т2² (М2+ m2) = а1³/а2³, здесь Т1 и Т2 – периоды обращения спутников вокруг центрального массивного тела; М1 и М2 - массы центральных массивных небесных тел; m1 и m2 – массы спутников, обращающихся вокруг центральных тел; а1 и а2 – большие полуоси орбит спутников.
Так как обычно массы спутников малы в сравнении с массами центральных тел, вокруг которых спутники обращаются, то при расчете отношения масс центральных тел, массами спутников можно пренебречь. В этом случае из обобщенного третьего закона Кеплера следует, что Му/Мз = Т1²* а2³/Т2²*а1³ =
= 27,3² * (5,835*10^5)³/13,5 ² *(3,844*10^5)³ ≈ 14,3
25. Дано:
Большая полуось орбиты астероида А = 2,646 а.е.
Эксцентриситет орбиты астероида е = 0,266
Расстояние в афелии Sa = А(1+е) = 2,646(1+0,266) ≈ 3,3498 а.е.
Расстояние в перигелии Sп = А(1 - е) = 2,646(1 - 0,266) ≈ 1,9422 а.е.