Question

Найдите площадь, ограниченную графиками функций f(x) = x(3 – x) и g(x) = 2. Изобразите графики функций, найдите точки пересечения, вычислите площадь.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Чтобы построить графики функций, для f(x) = x(3 – x) проведем следующие преобразования: выделим полный квадрат

$x(3-x)=-x^2+3x=-(x^2-3x+1.5^2)+2.25=-(x-1.5)^2+2.25$

Теперь элементарно строим график, путем смещения известного графика функции у = -х²  на +1.5 вправо по оси ОХ и на +2.25 вверх по оси ОУ.

График g(x) = 2 - это прямая линия.

После построения графиков мы нашли фигуру, площадь которой вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница

$\displaystyle \int\limits^a_b {(f(x)-g(x))} \, dx$

В нашем случае это будет

$\displaystyle S=\int\limits^2_1{(-x^2+3x-2)} \, dx =-\frac{x^3}{3} \bigg|_1^2+\frac{3x^2}{2} \bigg|_1^2-2x\bigg|_1^2=-\frac{7}{3} +\frac{9}{2} -2=\frac{1}{6}$