Question

Найдите все пары натуральных чисел x, y таких, что x^y = y^(x-y). В качестве ответа запишите сумму всевозможных подходящих x и y .

Answer 1

Ответ:

(1; 1); (8; 2); (9; 3)

Объяснение:

x^y = y^(x-y)

Первый вариант

х = у, Тогда справа имеем 1.

Для равенства слева тоже должна быть 1, значит, x = y  = 1.

Второй вариант.

y > x. Слева натуральное, справа число меньше 1, которое натуральному определённо не равно.

Последний вариант.

x > y >= 1

так как мы ищем решение в натуральных числах, то они оба >= 1.

Домножаем обе стороны на y^y

(xy)^y = y^x

Логарифмируем по основанию y

$y*log_y(xy)=x*log_y(y)=x$

$y*(log_y(x) + log_y(y))=y*(log_y(x) + 1)=x$

Справа натуральное, значит, log x тоже должен быть натуральным, то есть x=y^n

Подставляем в (xy)^y = y^x

$x^y*y^y = (y^n)^y*y^y = y^{y^n}$

$(y^y)^n*y^y = y^{y(n+1)}=y^{y^n}$

Основания степеней одинаковые, значит, и показатели тоже равны.

y(n+1) = y^n

n+1 = y^n : y = y^(n-1)

Перебирая варианты для n

n=1 - отпадает

n=2; y = 3; x = 9 : 9^3 = (3^2)^3 = 3^6 = 3^(9-3) = 729

n=3; y = 2; x = 8 : 8^2 = (2^3)^2 = 2^6 = 2^(8-2) = 64

Если y = 1, то n+1 > 1 - отпадает.

Если y >= 2, n > 3, то правая сторона всегда будет больше левой.