Предмет: Математика,
автор: nurgalievazamat924
(2xye^x^2-xsinx)dx+e^x^2*dy=0 помогите пожалуйста
Ответы
Автор ответа:
2
Ответ:
y(x) = (C1 - x*cos(x) + sin(x))*e-x(в квадрате, то есть 2)
Пошаговое объяснение:
nurgalievazamat924:
Можете отправить мне пошаговое объяснение на сайте почему-то не видно
Horcat пожалуйста можете отправить пошаговое решение занова
Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y':
ex2
Получим уравнение:
(2xy(x)ex2−xsin(x)+ex2ddxy(x))e−x2=0
Это дифф. уравнение имеет вид:
y' + P(x)y = Q(x)
где
P(x)=2x
и
Q(x)=xe−x2sin(x)
и называется линейным однородным
дифф. уравнением 1го порядка:
Решим сначала надо соответствующее линейное однородное ур-ние
y' + P(x)y = 0
ex2
Получим уравнение:
(2xy(x)ex2−xsin(x)+ex2ddxy(x))e−x2=0
Это дифф. уравнение имеет вид:
y' + P(x)y = Q(x)
где
P(x)=2x
и
Q(x)=xe−x2sin(x)
и называется линейным однородным
дифф. уравнением 1го порядка:
Решим сначала надо соответствующее линейное однородное ур-ние
y' + P(x)y = 0
с разделяющимися переменными
Данное ур-ние решается следущими шагами:
Из y' + P(x)y = 0 получаем
dyy=−P(x)dx
, при y не равным 0
∫1ydy=−∫P(x)dx
log(|y|)=−∫P(x)dx
Или,
|y|=e−∫P(x)dx
Поэтому,
y1=e−∫P(x)dx
y2=−e−∫P(x)dx
Данное ур-ние решается следущими шагами:
Из y' + P(x)y = 0 получаем
dyy=−P(x)dx
, при y не равным 0
∫1ydy=−∫P(x)dx
log(|y|)=−∫P(x)dx
Или,
|y|=e−∫P(x)dx
Поэтому,
y1=e−∫P(x)dx
y2=−e−∫P(x)dx
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
∫P(x)dx
Т.к.
P(x)=2x
, то
∫P(x)dx
=
=
∫2xdx=x2+Const
Зн., решение однородного линейного ур-ния:
y1=eC1−x2
y2=−eC2−x2
что соотв. решению
с любой константой C, не равной нулю:
y=Ce−x2
∫P(x)dx
Т.к.
P(x)=2x
, то
∫P(x)dx
=
=
∫2xdx=x2+Const
Зн., решение однородного линейного ур-ния:
y1=eC1−x2
y2=−eC2−x2
что соотв. решению
с любой константой C, не равной нулю:
y=Ce−x2
Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
y' + P(x)y = Q(x)
Используем метод вариации произвольной постоянной
Теперь, считаем, что C - это функция от x
y=C(x)e−x2
И подставим в исходное уравнение.
Воспользовавшись правилами
- дифференцирования произведения;
- производной сложной функции,
находим, что
ddxC(x)=Q(x)e∫P(x)dx
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
y' + P(x)y = Q(x)
Используем метод вариации произвольной постоянной
Теперь, считаем, что C - это функция от x
y=C(x)e−x2
И подставим в исходное уравнение.
Воспользовавшись правилами
- дифференцирования произведения;
- производной сложной функции,
находим, что
ddxC(x)=Q(x)e∫P(x)dx
Подставим Q(x) и P(x) в это уравнение.
Получим простейшее дифф. ур-ние для C(x):
ddxC(x)=xsin(x)
Зн., C(x) =
∫xsin(x)dx=(−xcos(x)+sin(x))+Const
подставим C(x) в
y=C(x)e−x2
и получим окончательный ответ для y(x):
e−x2(−xcos(x)+sin(x)+Const)
Получим простейшее дифф. ур-ние для C(x):
ddxC(x)=xsin(x)
Зн., C(x) =
∫xsin(x)dx=(−xcos(x)+sin(x))+Const
подставим C(x) в
y=C(x)e−x2
и получим окончательный ответ для y(x):
e−x2(−xcos(x)+sin(x)+Const)
Похожие вопросы
Предмет: Українська мова,
автор: 123456789or
Предмет: Русский язык,
автор: Аноним
Предмет: Английский язык,
автор: ева41
Предмет: Русский язык,
автор: xatiranadirova6996
Предмет: Английский язык,
автор: armanabanana1p2egmf