Question

Помогите пожалуйста, дам 100 баллов

Answer 1

1.

$\displaystyle \int\limits^3_2 {\frac{-2x^3+x^2-x+6}{x^2}} \, dx =\int\limits^3_2 {(-2x+1-\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2}})\, dx=\\\\=(-x^2+x-ln|x|-\frac{6}{x})\bigg|^3_2=\\\\=(-3^2+3-ln3-2)-(-2^2+2-ln2-3)=(-8-ln3)-(-5-ln2)=\\\\=-3-ln3+ln2=-3-ln1.5$

2.

$\displaystyle \int\limits^{\pi /6}_0 {(cos^23x)} \, dx=\int\limits^{\pi /3}_0 {\frac{1+cos6x}{2}} \, dx =\frac{1}{2}\int\limits^{\pi /6}_0 {(1+cos6x)} \, dx=\\\\=\frac{1}{2}(x+\frac{sin6x}{6})\bigg|^{\pi /6}_0=\frac{1}{2}(\frac{\pi }{6}+\frac{sin\pi }{6}-0-\frac{sin0}{6} )=\frac{\pi }{12}$

3.

если построить график то видны точки пересечения функций

но можно и найти алгербически

$\displaystyle (x+1)^2=1-x^2\\\\x^2+2x+1=1-x^2\\\\2x^2+2x=0\\\\2x(x+1)=0\\\\x=0; x=-1$

$\displaystyle S=\int\limits^0_{-1} {(1-x^2)-(x+1)^2} \, dx=\int\limits^0_{-1} {(1-x^2-x^2-2x-1} )\, dx =\\\\=\int\limits^0_{-1}{(-2x^2-2x)} \, dx =-2(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2})\bigg|^0_{-1}=\\\\=-2((0+0)-(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2} ))=-2(-\frac{1}{6} )=\frac{1}{3}$