Question

(n-1)n(n+1)(n+2)+1 довести що вираз э точним квадратом при всіх цілих n

Answer 1

(n-1)n(n+1)(n+2)+1 = (n^2 + n)(n^2 + n - 2) + 1

Сделаем замену, пусть n^2 + n -1 = t, тогда

(n^2 + n)(n^2 + n - 2) + 1 = (t + 1)(t - 1) + 1 = t^2 - 1 + 1 = t^2

Таким образом (n-1)n(n+1)(n+2)+1 = (n^2 + n -1)^2