Question

Найти модуль и аргумент комплексных чисел

1) z = 1 + i
2) z = -1 + i
3) z = -1 - i

Answer 1

$z=x+yi$

Модуль комплексного числа определяется соотношением:

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

Аргумент комплексного числа с ненулевой действительной и мнимой частями определяется соотношением:

$\arg z=\begin{cases} \mathrm{arctg}\dfrac{y}{x},\ x>0 \\ \mathrm{arctg}\dfrac{y}{x}+\pi,\ x<0,\ y>0 \\ \mathrm{arctg}\dfrac{y}{x}-\pi,\ x<0,\ y<0 \end{cases}$

1)

$z = 1 + i$

$|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

$\arg z= \mathrm{arctg}\dfrac{1}{1}=\mathrm{arctg}1=\dfrac{\pi }{4}$

2)

$z =-1 + i$

$|z|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$

$\arg z= \mathrm{arctg}\dfrac{1}{-1}+\pi =\mathrm{arctg}(-1)+\pi =-\dfrac{\pi }{4}+\pi =\dfrac{3\pi }{4}$

3)

$z =-1 -i$

$|z|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

$\arg z= \mathrm{arctg}\dfrac{-1}{-1}-\pi =\mathrm{arctg}1-\pi =\dfrac{\pi }{4}-\pi =-\dfrac{3\pi }{4}$