Question

помогите пожалуйста...​

Answer 1

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы A называется следом матрицы и обозначается Tr A (Tr - две первые буквы слова Trace - так пишется слово след на английском и французском языках). Поэтому

$Tr (AB)=(AB)_1+(AB)_2+\ldots +(AB)_n=$

$=(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\ldots+a_{1n}b_{n1})+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+\ldots+ a_{2n}b_{n2})+\ldots+$

$+(a_{n1}b_{1n}+a_{n2}b_{2n}+\ldots +a_{nn}b_{nn})=\sum\limits_{i,j=1}^na_{ij}b_{ji}.$

Таким образом, след произведения двух квадратных матриц равен сумме всевозможных произведений элементов матриц A и B, причем если у элемента матрицы  A индексы i и j (то есть элемент находится на пересечении i-й строки и j-го столбца), то у элемента матрицы B должны быть индексы  j и i (то есть элемент находится на пересечении j-й строки и i-го столбца). При вычислении следа матрицы BA будут такие же произведения, только сначала берется элемент матрицы B, а затем элемент матрицы A.  Но поскольку произведение действительных чисел коммутативно, результат не изменится.

Замечание. Если приведенная выкладка кажется не совсем понятной, советую найти Tr(AB) и Tr(BA) в случае матриц второго порядка, и все сомнения рассеются.