Question

на катете АС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу АБ в точке Д; БД=4, АД =9. найдите СД

Answer 1

<ADC опирается своими сторонами на диаметр окружности (дуга 180°) ⇒
<ADC = 180° : 2 = 90° ⇒ ΔADC - прямоугольный, ⇒ ΔBDC - прямоугольный (<BDC = 90°)

B ΔABC по т. Пифагора
AB² = AC² + BC²
AC² + BC² = (4 + 9)² = 13² = 169
AC² + BC² =  169  - уравнение с двумя переменными

B ΔADC по т. Пифагора
AC² = CD² + AD² = CD² + 9²     ⇒CD² = AC² - 81
                                                               
B ΔBDC по т. Пифагора
CB² = CD² + BD² = CD² + 4²     ⇒CD² = CB² - 16

  ⇒AC² - 81 =  CB² - 16 - уравнение с двумя переменными

Получили систему двух уравнений с двумя переменными
 AC² - 81 =  CB² - 16 
AC² + BC² =  169

ВС² = 52
CD² = CB² - 16 = 52 - 16   ⇒ CD² = 36   ⇒  CD = √36 = 6