Question

пусть a>b>0 докажите что a³>b³, a³>ab², a⁴>a²b², a²b²>b⁴​

Answer 1

Пусть a>b>0 докажите что a³>b³, a³>ab², a⁴>a²b², a²b²>b⁴​

a² - b² = (a - b)(a + b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

a>b>0  ⇒ a - b > 0 a > 0 b > 0

1. a³>b³  

a³ - b³ > 0

(a - b)(a² + ab + b²) > 0  так как a - b > 0 по условию, вторая скобка > 0 как сумма положительных чисел чтд

2. a³>ab²

a³ - ab² > 0

a(a² - b²) > 0

a( a - b)(a + b) > 0 так как a и a - b > 0 по условию, вторая скобка > 0 как сумма положительных чисел чтд

3, a⁴>a²b²

a⁴ - a²b² > 0

a²(a² - b²) > 0

a²(a - b)(a + b) > 0 так как a и a - b > 0 по условию, вторая скобка > 0 как сумма положительных чисел чтд

4. a²b²>b⁴​

a²b²- b⁴​ > 0

b²(a² - b²) > 0

b²(a - b)(a + b) > 0 так как b и a - b > 0 по условию, вторая скобка > 0 как сумма положительных чисел чтд