Question

помогите пожалуйста...​

Answer 1

Эта задача может быть решена стандартным способом, сведением матричного уравнения AX=XA к линейной однородной системе из четырех уравнений, записывая равенство элементов левой и правой матрицы. Если элементы матрицы X обозначить как  x, y, u, v (сначала элементы первой строки, записанные слева направо, затем элементы второй строки), то получаются уравнения

x+2u=x+3y;  y+2v=2x+4y;  3x+4u=u+3v;  3y+4v=2u+4v  ⇒  

2u=3y;  2x+3y-2v=0;  x+u-v=0;  3y=2u  ⇒

3y=2u; x=-u+v. Чтобы в ответе не было дробей, обозначим u=3w, тогда  x=-3w+v;  y=2w. Здесь v и w - произвольные действительные числа. Поэтому

\$X=\left(\begin{array}{cc}-3w+v&2w\\3w&v\end{array}\right)=w\left(\begin{array}{cc}-3&2\\3&0\end{array}\right)+v\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right).$

Кстати, интересное замечание - ответ можно записать в виде

$X=C_1A+C_2E,$  где E - единичная матрица (здесь $C_1=w; \ C_2=v-4w.$)

Это соображение наводит на мысль, что решение можно упростить. В самом деле, ясно, что множество матриц, коммутирующих с A, образует линейное пространство. В этом пространстве очевидно лежит сама матрица  A, а также единичная матрица (а тогда и любые их линейные комбинации там лежат). Остается доказать, что никакие другие матрицы не коммутируют с  A. Пусть X коммутирует с A. Смотрим на главные диагонали матриц A и E - это наборы e=(1;4) и f=(1;1), которые непропорциональны и поэтому линейно независимы в пространстве   R². Поскольку размерность этого пространства равна 2, диагональ матрицы X может быть представлена в виде линейной комбинации

$C_1e+C_2f$ этих наборов, а тогда матрица $Y=X-C_1A-C_2E$  имеет нулевую диагональ. Докажем, что Y - нулевая матрица. Если элементы побочной диагонали матрицы Y обозначить через p и q, для нахождения этих чисел получаем в частности условия p=4p;  4q=q⇒  p=q=0, то есть Y - нулевая матрица, откуда X является линейной комбинацией   матриц A и E.