Question

Вычислите площадь фигуры с помощью интеграла

1 и 2
Кто хочет 35 баллов?

Answer 1

Объяснение:

1)$y=x^2-2x-1\ \ \ \ y=3+x\ \ \ \ S=?\\x^2-2x-1=3+x\\x^2-3x-4=0\\D=25\ \ \ \ \sqrt{D}=5\\x_1=-1\ \ \ \ x_2=4.\\\int\limits^4_{-1} {(3+x-(x^2-2x-1)} \, dx = \int\limits^4_{-1 }{(3+x-x^2+2x+1)} \, dx = =\int\limits^4_{-1} {(-x^2+3x+4)} \, dx=(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} +4x) \ |_{-1}^4=-\frac{4^3}{3}+\frac{3*4^2}{2}+4*4-(-\frac{(-1)^3}{3} +\frac{3*(-1)^2}{2}+4*(-1))=$$=-\frac{64}{3}+24 +16 -(\frac{1}{3} +\frac{3}{2} -4)=-\frac{64}{3}+40-\frac{1}{3}+2\frac{1}{2}= -\frac{65}{3} +42\frac{1}{2}=\\=-\frac{65}{3}+\frac{85}{2}=\frac{-65*2+85*3}{3*2}=\frac{-130+255}{6} =\frac{125}{6}=20\frac{5}{6}.$

Ответ: S=20,833333 кв. ед.

2)

$y=x^2-3x-5\ \ \ \ y=-x^2+x-5\ \ \ \ \ S=?\\x^2-3x-5=-x^2+x-5\\2x^2-4x=0\ |:2\\x^2-2x=0\\x*(x-2)=0\\x_1=0\\x-2=0\\x_2=2\ \ \ \ \ \Rightarrow\\S=\int\limits^2_0 {(-x^2+x-5-(x^2-3x-5))} \, dx =\int\limits^2_0 {(-x^2+x-5-x^2+3x+5))} \, dx =\\=\int\limits^2_0 {(-2x^2+4x)} \, dx=(-\frac{2x^3}{3} +\frac{4x^2}{2} )\ |_0^2=-\frac{2*2^3}{3} +\frac{4*2^2}{2}-(-\frac{2*0^3}{3}+\frac{4*0^2}{2})=\\= -\frac{16}{3} +8-0=-5\frac{1}{3}+8=2\frac{2}{3} .$

Ответ: S=2,6666667 кв. ед.