Question

Найти производную по определению с решением​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle y=3^{x^2}$

Δх - приращение аргумента

Δу = f(x+Δx)-f(x) - приращение функции.

$\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta{x} \to 0} \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}= \lim_{\Delta{x} \to 0} \frac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}$

$\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta{x} \to0} \frac{3^{(x+\Delta{x})^2}-3^{x^2}}{\Delta{x}} =\\\\= \lim_{\Delta{x} \to0} \frac{3^{x^2+2x\Delta{x}+\Delta{x}^2}-3^{x^2}}{\Delta{x}} =\\\\= \lim_{\Delta{x} \to0} \frac{3^{x^2}*3^{2x\Delta{x}+\Delta{x}^2}-3^{x^2}}{\Delta{x}} =\\\\=3^{x^2} *\lim_{\Delta{x} \to0} \frac{(3^{2x\Delta{x}+\Delta{x}^2}-1)*(2x+\Delta{x})}{\Delta{x}*(2x+\Delta{x})} =$

$\displaystyle =3^{x^2} *\lim_{\Delta{x} \to0} \frac{(3^{2x\Delta{x}+\Delta{x}^2}-1)}{(2x\Delta{x}+\Delta{x}^2)} * \lim_{\Delta{x} \to0} (2x+\Delta{x}) =\\\\=3^{x^2}*ln3*2x=2x\;ln3\;3^{x^2}$

Использовали формулу:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=ln\;a$