Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка O - центр грани AA1BB1. Найдите угол между прямыми DO и CD1. Решите задачу с помощью метода координат.
(Если можно, то сделайте, пожалуйста, с рисунком)

Answer 1

DO и CD₁ - скрещиваются, но А₁В ║ CD₁ ⇒  угол между прямыми DO и CD₁ равен углу между прямыми DO и А₁В. Пусть ребро исходного куба равно единице: АВ = 1, тогда диагональ грани равна корню из двух: А₁В = √2. Рассмотрим ΔDАO – прямоугольный (DА ⊥ АO), по теореме Пифагора: DO² = АO² + DА², АО = 0,5*АВ₁ = $\frac{\sqrt{2} }{2}$ ⇒

DO² = $(\frac{\sqrt{2} }{2} )^{2} + 1^{2} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

Далее рассмотрим ΔDOВ, где ∠DOВ =  углу между прямыми DO и А₁В =

= углу между прямыми DO и CD₁. При этом DВ = √2 как диагональ квадрата с единичной стороной, ОВ = $\frac{\sqrt{2} }{2}$, DO² = $\frac{3}{2}$.

По теореме косинусов: DВ² = DO² + ОВ² – 2 · DO · ОВ · сos(∠DOВ) ⇒

√2² = $(\frac{\sqrt{2} }{2} )^{2} + (\frac{3}{2})^{2}$ $- 2 * \frac{\sqrt{2} }{2} * \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{2} }$ * сos(∠DOВ) ⇒

$2 = \frac{1}{2} + \frac{9}{4} - \sqrt{3}$ * сos(∠DOВ)) ⇒

√3*сos(∠DOВ) = $\frac{2 + 9 - 8}{4} = \frac{3}{4}$  ⇒ сos(∠DOВ) = $\frac{3}{4*\sqrt{3} }$ = $\frac{\sqrt{3} }{4}$ ⇒

∠DOВ = углу между прямыми DO и CD₁ = arccos$(\frac{\sqrt{3} }{4} )$