Question

ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ
$\cos( \frac{2x}{3} ) - 5 \cos( \frac{x}{3} ) - 2 = 0$
​

Answer 1

Ответ:

$x = - + 2\pi + 6\pi \: n$

n €Z

Объяснение:

$cos( \frac{2x}{3} ) - 5cos \frac{x}{3} - 2 = 0$

для 1-го слагаемого применим формулу косинус двойного аргумента:

$cos2 \alpha = 2 {cos}^{2} \alpha - 1$

$cos( \frac{2x}{3} ) = cos(2 \times \frac{x}{3} ) = 2 {cos}^{2} \frac{x}{3} - 1$

$2 {cos}^{2} \frac{x}{3} - 1 - 5cos \frac{x}{3} - 2 = 0 \\ 2 {cos}^{2} \frac{x}{3} - 5cos \frac{x}{3} - 3 = 0$

- тригонометрическое квадратное уравнение, замена переменной:

$cos \frac{x}{3} = t \\ - 1 \leqslant t \leqslant 1$

$2 {t}^{2} - 5t - 3 = 0 \\ t_{1} = - \frac{1}{2} \\ t_{2} = 3$

t2=3 - посторонний корень, => корень уравнения t=-(1/2)

обратная замена:

$t = \frac{1}{2} \\ cos \frac{x}{3} = - \frac{1}{2}$

- простейшее тригонометрическое уравнение:

$\frac{x}{3} = - + arccos( - \frac{1}{2} ) + 2\pi \: n$

n €Z, знак € читать "принадлежит"

$\frac{x}{3} = - + (\pi - arccos \frac{1}{2} ) + 2\pi \: n$

$\frac{x}{3} = - + (\pi - \frac{\pi}{3} ) + 2\pi \: n \\ \frac{x}{3} = - + \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n | \times 3 \\ x = - + 2\pi + 6\pi \: n$