Question

Найти наибольшее значение площади равнобедренного треугольника с периметром , равным 2

Answer 1

Найти наибольшее значение площади равнобедренного треугольника с периметром , равным 2.

1. Обозначим:

2a - основание равнобедренного треугольника;

b - боковая сторона;

h - высота, проведенная к основанию.

  2. Составим уравнение для периметра треугольника:

2a + 2b = 2;

a + b = 1;

b = 1 - a.

  3. Найдем высоту треугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора:

a^2 + h^2 = b^2;

h^2 = b^2 - a^2 = (1 - a)^2 - a^2 = 1 - 2a + a^2 - a^2 = 1 - 2a.

h = √(1 - 2a).

  4. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты:

     S = 1/2 * 2a * h = ah = a√(1 - 2a).

  5. Найдем максимум функции f(a) = S^2:

f(a) = a^2(1 - 2a) = a^2 - 2a^3;

f'(a) = 2a - 6a^2) = 2a(1 - 3a) = 0.

     a = 1/3 (см) - точка максимума, в которой f(a), а значит и S, принимает наибольшее значение.

     b = 1 - a = 1 – (1/3) = (2/3) (см).

  6. Стороны треугольника:

2a = 2*(1/3) = (2/3) см;

b = (2/3) см.

Ответ: треугольник должен быть равносторонним.