Question

$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n \cdot 5 ^ { n + 1 } }$
даламбер и Коши ​

Answer 1

Ответ:

$\lim_{n→ + \infty }( | \frac{ \frac{1}{(n + 1) \times {5}^{n + 1 + 1} } }{ \frac{1}{n \times {5}^{n + 1} } } | ) =$

$\lim_{x→ \infty }( \frac{ \frac{1}{(n + 1) \times {5}^{n + 2} } }{ \frac{1}{n \times {5}^{n + 1} } } ) =$

$\lim_{x→ \infty } \frac{n}{(n + 1) \times 5} = \lim_{x→ \infty } \frac{n}{5n + 5} =$

$\lim_{x→ \infty } \frac{n}{n(5 + \frac{5}{n} )} = \lim_{x→ \infty } \frac{1}{5 + \frac{5}{n} }$

$\frac{1}{5 + 5 \times \frac{1}{ \infty } } = \frac{1}{5 + 5 \times 0} = \frac{1}{5}$

Так как предел меньше 1, заданный ряд сходится