Question

Помогите пожалуйста:(

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle y=\frac{-x^2+3x-1}{x}$

1. ОДЗ: х ≠ 0

2. Четность, нечетность:

$\displaystyle y(-x)=\frac{-(-x)^2+3(-x)-1}{-x}=\frac{-x^2-3x-1}{-x} \\\\y(-x)\neq y(x)\neq -y(x)$

⇒ функция не является четной или нечетной.

3. Пересечение с осями.

$x\neq 0$ ⇒ ось 0y не пересекает.

$\displaystyle y=0; \;\;\; -x^2+3x-1=0; \;\;\; x\neq 0\\\\x^2-3x+1=0\\\\x_{1,2}=\frac{3^+_-\sqrt{9-4} }{2}=\frac{3^+_-\sqrt{5} }{2}$

$\displaystyle x_1\approx 2,6;\;\;\;x_2\approx 0,4$

4. Асимптоты.

$\displaystyle \lim_{n \to0} \frac{-x^2+3x-1}{x}= \infty$

⇒ x = 0 - вертикальная асимптота.

Наклонная: y = kx + b

$\displaystyle k= \lim_{n \to \infty} \frac{-x^2+3x-1}{x^2}= \lim_{n \to \infty} \frac{-\frac{x^2}{x^2}+\frac{3x}{x^2}-\frac{1}{x^2} }{\frac{x^2}{x^2} } =-1$

$\displaystyle b= \lim_{n \to \infty} (\frac{-x^2+3x-1}{x}+x)= \lim_{n \to \infty} \frac{-x^2+3x-1+x^2}{x}=\\\\= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3x}{x}-\frac{1}{x} }{\frac{x}{x} }=3$

⇒ у = -х + 3 - наклонная асимптота.

5. Возрастание, убывание:

Найдем производную:

$\displaystyle y'=\frac{(-2x+3)x+x^2-3x+1}{x^2}=\frac{-x^2+1}{x^2} =\frac{(1-x)(1+x)}{x^2}$

Приравняем производную к 0, найдем корни, отметим их на числовой оси и найдем знаки производной на промежутках:

$\displaystyle y'=0;\;\;\;\;x=1;\;\;\;\;\;x=-1;\;\;\;\;\;x\neq 0$

$--[{-1}]+++(0)+++[{1}]---$

Функция возрастает при х ∈ [-1; 0)∪(0; 1]

Функция убывает при х ∈ (-∞; -1] ∪ [1; +∞)

$\displaystyle x_{min}=-1;\;\;\;y(-1)=5\\x_{max}=1;\;\;\;y(1)=1$

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к 0. Найдем корни и знаки второй производной на промежутках. Если "+" - вогнута, если  "-"- выпукла.

$\displaystyle y''=\frac{(-2x)*x^2-(-x^2+1)*2x}{x^4} =\frac{-2x^2+2x^2-2}{x^3} =\\\\-\frac{2}{x^3}$

y''≠0;     x≠0

$+++++(0)-----$

Функция вогнута при х ∈ (-∞; 0), выпукла при х ∈ (0; +∞),

Точек перегиба нет.

Строим график.