Question

Решите пожалуйста систему уравнений
x+y+z=2
x²+y²+z²=6
x³+y³+z³=8

Answer 1

Ответ:

(1;-1;2), (-1;1,2), (1;2;-1), (-1;2;1), (2;-1;1), (2;1;-1)

Объяснение:

На самом деле все очень просто...

$x+y+z = 2\\x^2+y^2+z^2=6\\x^3+y^3+z^3=8$

$x+y = 2-z\\x^2+y^2 = 6-z^2\\x^3+y^3 = 8-z^3$

$x+y = 2-z\\(x+y)^2-2xy = 6-z^2\\(x+y)(x^2-xy+y^2) = (2-z)(z^2+2z+4)$

Таким образом, получаем:

$xy = \frac{(2-z)^2 -(6-z^2)}{2} = z^2-2z-1\\x^2-xy+y^2 = 6-z^2 -(z^2-2z-1) = -2z^2+2z+7\\(2-z)(-2z^2+2z+7) = (2-z)(z^2+2z+4)\\(2-z)(3z^2-3) = 0\\(2-z)(z-1)(z+1 ) = 0\\1.\\z_{1} =2\\x+y = 0; x =-y\\x^2+y^2 = 2x^2 = 2\\x_{1} =+-1\\y_{1} = -+1$

Из симметрии задачи можно написать все решения:

(1;-1;2), (-1;1,2), (1;2;-1), (-1;2;1), (2;-1;1), (2;1;-1)