Question

помогите пожалуйста
Даны вершины тетраэдра A, B, C, D (-3 ;5 ;-1) (-2; 3; 2) (0 ;1; -2) (-1; 1; -1)
а) с помощью векторов найти длину высоты, проведённой из вершины А
б)составить уравнение плоскости BCD и найти расстояние от точки А до плоскости BCD

Answer 1

Даны вершины тетраэдра A(-3 ;5 ;-1), B(-2; 3; 2), C(0 ;1; -2), D(-1; 1; -1).

а) с помощью векторов найти длину высоты, проведённой из вершины А.

б)составить уравнение плоскости BCD и найти расстояние от точки А до плоскости BCD.

Оба вопроса имеют один смысл:  длина высоты из вершины А – это расстояние от точки А до плоскости BCD.

В первую очередь находим уравнение плоскости BCD.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xB              y - yB             z – zB

xC – xB          yC - yB          zC – zB

xD – xB         yD – yB           zD - zB = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-2)            y – 3                 z – 2

0 - (-2)            1 – 3                (-2) – 2

(-1) - (-2)         1 – 3               (-1) - 2 = 0

x - (-2)             y – 3              z – 2

  2                     -2                  -4

 1                      -2                  -3 = 0

(x - (-2))(-2·(-3)-(-4)·(-2)) – (y – 3)(2·(-3)-(-4)·1) + (z – 2)(2·(-2)-(-2)·1) = 0

(-2)x - (-2) + 2y - 3 + (-2)z - 2 = 0

- 2x + 2y - 2z - 6 = 0 и после сокращения на (-2) получаем

уравнение плоскости BCD: x - y + z + 3 = 0.

Далее есть три варианта определения расстояния от точки А до плоскости BCD.

1) Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²)

Подставим в формулу данные:

d = |1·(-3) + (-1)·5 + 1·(-1) + 3|/√(1² + (-1)² + 1²) =

   = |-3 - 5 - 1 + 3|/√(1 + 1 + 1) =

   = 6/√3 = 2√3 ≈ 3.4641.

2) Надо найти проекцию точки А на плоскость BCD. Пусть это точка Е.

Находим уравнение прямой АЕ.

Нормальный вектор плоскости BCD равен (1; -1; 1) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Получаем уравнение перпендикуляра из точки A(-3; 5; -1).

АЕ:((x + 3)/1 = (y - 5)/(-1) = ((z + 1)/1.

Координаты, которые имеет точка Е пересечения  x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:

{((x + 3)/1 = (y - 5)/(-1) = ((z + 1)/1.

{x - y + z + 3 = 0.

Уравнение прямой представим в параметрическом виде.

((x + 3)/1 = (y - 5)/(-1) = ((z + 1)/1 = t,

x + 3 = 1*t ,      x = t - 3,

y – 5 = (-1)*t,   y = -t + 5,

z + 1 = 1*t,       z = t - 1.

Подставим переменные в уравнение плоскости x-y+z+3=0.

t - 3 -(-t + 5) + t - 1 + 3 = 0,

3t = 6,

t =  6/3 = 2.

Подставим значение t в выражения переменных.

x =  2 – 3 = -1,  

y = -2 + 5 = 3,

z =  2 - 1 = 1.

Найдена точка E пересечения перпендикуляра из точки А и плоскости ВСD, она же является проекцией точки A на заданную плоскость.

Ответ: Е(-1; 3; 1).

Находим длину отрезка АЕ.

АЕ = (-1-(-3); 3-5; 1-(-1) = (2; -2; 2).

d = √(2² + (-2)² + 2²) = √(4 + 4 + 4) = √12 = 2√3.

3) Получим нормальное уравнение плоскости BCD x - y + z + 3 = 0. Для этого нам нужно привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Определив нормирующий множитель  1/√(1^2+(-1)^2+1^2 )=1/√3  , получаем нормальное `уравнение плоскости 1/√3·x-1/√3·y+1/√3·z+1/√3·3=0.   

Осталось вычислить значение левой части полученного уравнения при координатах точки А(-3; 5; -1)  и взять модуль полученного значения – это даст искомое расстояние от точки  до плоскости:

|AE|=1/√3·(-3)-1/√3·5+1/√3·(-1)+1/√3·3=6/√3=2√3.