Question

Найдите наименьшее значение выражения:​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Неравенство Коши

$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$

Наименьшее значение суммы a+b возникает только когда

$a+b=2\sqrt{ab}$

Решим задачу опираясь на это

$2) \ \displaystyle \frac{(x+3)(x+12)}{x} \ = \frac{x^2+15x+36}{x} =\underbrace{x+\frac{36}{x}}_{12}+15=\boxed{27} \\\\\\ x+\frac{36}{x}\geqslant 2 \sqrt{\frac{36}{x} \cdot x } \\\\\\ x+\frac{36}{x} \geqslant 12 \\\\\\\ x+\frac{36}{x} =12$

$4) \ \displaystyle \ \frac{y^4+y^2+1}{y^2+1} =y^2+\frac{1}{y^2+1} =\boxed{1}$

$\ \displaystyle \ y^2+1+\frac{1}{y^2+1}\geqslant 2\sqrt{\frac{1}{y^2+1} \cdot( y^2+1)} \\\\ y^2+1+\frac{1}{y^2+1} \geqslant 2\\\\\\ {y^2}+\frac{1}{y^2+1} \geqslant1 \\\\\\ y^2+\frac{1}{y^2+1} =1$