Question

Даны координаты вершин а1(5,-1,0),а2(-7,1,-4),а3(1,1,3),а4(2,3,-3) найти средствами векторной алгебры

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды:

A1( 5; -1; 0), A2 (-7; 1; -4), A3(1; 1; 3), A4(2; 3; -3) . Найти:

1) длину ребра A2A4.

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

a = √(X² + Y² + Z²).

Находим координаты вектора А2А4 по точкам A2 (-7; 1; -4), A4(2; 3; -3).

А2А4 = (2-(-7); 3-1; -3-(-4)) = (9; 2; 1).

Длина А2А4 = √(9² + 2² + 1²)  = √(81 + 4 + 1) = √86.

2) площадь грани A1A2A3.

Площадь грани равна половине модуля векторного произведения векторов А1А2 и А1А3.

Находим векторы по точкам: A1( 5; -1; 0), A2 (-7; 1; -4), A3(1; 1; 3).

А1А2 = (-7-5; 1-(-1); -4-0) = (-12; 2; -4),

модуль равен = √((-12)² + 2² +  (-4)²) = √164 = 2√41 ≈ 12,8062,

A1А3 = (1-5; 1-(-1); 3-0) = (-4; 2; 3),  

модуль = √((-4)² + 2²  + 3²) = √29 ≈ 5,38516.

Находим векторное их произведение.

  I        j        k|          I          j

-12      2       -4|       -12       2

-4       2        3|         -4       2 = 6i + 16j – 24k + 36j+ 8i + 8k = 14i + 52j – 16k.

Результат: (14; 52; -16). Это координаты нормального вектора плоскости А1А2А3. Теперь находим площадь треугольника:

S = (1/2)* √(14² + 52² + (-16)²) = (1/2)*√3156 ≈ 28,0891 кв. ед.

3) угол А1А2А3 это между векторами A2A1 и A2A3.

Вектор А2А1 = -(А1А2) = (12; -2; 4).  

Его модуль равен 2√41.

Находим координаты вектора А2А3 по точкам A2 (-7; 1; -4), A3(1; 1; 3).

А2А3 = (1-(-7); 1-1; 3-(-4)) = (8; 0; 7).

Длина А2А3= √(8² + 0² + 7²)  = √(64 + 0 + 49) = √113 ≈ 10,6301.

cos(A2A1_A2A3) = (12*8+(-2)*0+4*7)/(2√41*√113 ) = 124/(2√4633) =  

62/√4633 ≈ 0,91088.

Угол равен arccos 0,91088 = 24,3729 градуса.

4) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3.

Точка A4(2; 3; -3), нормальный вектор плоскости А1А2А3:( (14; 52; -16) (найден в пункте 2) - он для высоты является направляющим вектором.

Получаем уравнение:

(x - 2)/14 = (y - 3)/52 = (z + 3)/(-16).

5) длина высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.  

Высоту находим по формуле H = 3V/S.

Для этого найдём объём пирамиды как (1/6) смешанного произведения векторов (А1А2хА1А3)*А1А4.

Векторное  произведение А1А2хА1А3 найдено ранее и равно (14; 52; -16).  

Находим вектор А1А4 ио точкам A1( 5; -1; 0), A4(2; 3; -3).  

A1А4 = ( 2-5; 3-(-1); -3-0) = (-3; 4; -3).

A1A2xA1A3 = 14   52   -16

         A1A4 = -3     4      -3  

                     -42 + 208 + 48 = 214.

V = (1/6)*|214| = (214/6) = (107/3) ≈ 35,667 куб. ед.

Тогда высота из точки А4 на плоскость А1А2А3 равна:

Н = (3*(107/3))/((1/2)*√3156) = 107√789/789 ≈ 3,8093.