Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА, ДАЮ 45 БАЛЛОВ
знайти усі пари цілих невід'ємних чисел, що задовольняють рівняння 5x²- 4xy+y² = 4x+1​

Answer 1

$5x^2- 4xy+y^2 = 4x+1$

Преобразуем уравнение:

$x^2+4x^2- 4xy+y^2 - 4x=1$

$x^2 - 4x+4+4x^2- 4xy+y^2=1+4$

$(x -2)^2+(2x- y)^2=5$

Если $x$ и $y$ - целые числа, то и выражения $(x-2)$ и $(2x-y)$ также являются целыми.

Тогда, выражения $(x-2)^2$ и $(2x-y)^2$ соответствуют квадратам целых чисел.

Если $(x-2)^2=0$, то $(2x-y)^2=5$ - но число 5 не является квадратом $y_3=2\cdot1+2=4$

целого числа, поэтому этот вариант не реализуется.

Если $(x-2)^2=1$, то $(2x-y)^2=4$.

Если $(x-2)^2=4$, то $(2x-y)^2=1$.

Если $(x-2)^2\geq 9$, то $(2x-y)^2\leq -4$ - эти варианты также не реализуются, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, нужно рассмотреть два случая.

Первый случай:

$\begin{cases} (x-2)^2=1 \\ (2x-y)^2=4 \end{cases}$

Такую систему можно расписать в виде совокупности четырех систем. Запишем в виде краткого условия:

$\begin{cases} x-2=\pm1 \\ 2x-y=\pm2 \end{cases}$

Из первого условия получим:

$x=2\pm1$

$x_{12}=2+1=3$

$x_{34}=2-1=1$

Из второго условия получим:

$y=2x\pm2$

$y_1=2\cdot3+2=8$

$y_2=2\cdot3-2=4$

$y_3=2\cdot1+2=4$

$y_4=2\cdot1-2=0$

Таким образом, найдены решения:

$(3;\ 8);\ (3;\ 4);\ (1;\ 4);\ (1;\ 0)$

Второй случай:

$\begin{cases} (x-2)^2=4 \\ (2x-y)^2=1 \end{cases}$

$\begin{cases} x-2=\pm2 \\ 2x-y=\pm1 \end{cases}$

Из первого условия получим:

$x=2\pm2$

$x_{56}=2+2=4$

$x_{78}=2-2=0$

Из второго условия получим:

$y=2x\pm1$

$y_5=2\cdot4+1=9$

$y_6=2\cdot4-1=7$

$y_7=2\cdot0+1=1$

$y_8=2\cdot0-1=-1$

Таким образом, найдены решения:

$(4;\ 9);\ (4;\ 7);\ (0;\ 1);\ (0;\ -1)$

Последняя пара чисел не удовлетворяет условию о том, что решения должны быть составлены из неотрицательных чисел. Эта пара чисел не идет в ответ.

Ответ: $(3;\ 8);\ (3;\ 4);\ (1;\ 4);\ (1;\ 0);\ (4;\ 9);\ (4;\ 7);\ (0;\ 1)$