Question

Однажды червяк и улитка соревновались в скорости передвижения. Они преодолевали участок длиной L, при этом улитка двигалась с постоянной скоростью v улитки= 36мм/мин. Червяк же прополз часть пути длиной L1= 4 дюйма со скоростью v1 = 30 мм/мин, а оставшуюся часть пути со скоростью v2=45мм/мин. Определите длину участка L, если известно, что участники финишировали одновременно. Ответ запишите в дюймах.

Answer 1

Дано:

v = 36 мм/мин (скорость улитки)

L₁ = 4 дюйма

v₁ = 30 мм/мин

v₂ = 45 мм/мин

Найти: L

Решение:

Записываем время, затраченное улиткой:

$t=\dfrac{L}{v}$

Время, затраченное червяком складывается из двух частей: затраченное на первую часть пути и затраченное на вторую часть пути:

$t=t_1+t_2$

Аналогично, распишем время:

$t_1=\dfrac{L_1}{v_1};\ t_2=\dfrac{L_2}{v_2}$

Заметим, что вторая часть пути равна разности всего пути и первой части пути:

$L_2=L-L_1$

Таким образом, одно выражение для времени преобразуется:

$t_2=\dfrac{L-L_1}{v_2}$

Подставляем все соотношения в формулу для времени, затраченного червяком:

$t=\dfrac{L_1}{v_1}+\dfrac{L-L_1}{v_2}$

По условию червяк и улитка финишировали одновременно. Поэтому, их время движения совпадают:

$\dfrac{L}{v}=\dfrac{L_1}{v_1}+\dfrac{L-L_1}{v_2}$

Выражаем искомую величину:

$\dfrac{L}{v}=\dfrac{L_1}{v_1}+\dfrac{L}{v_2}-\dfrac{L_1}{v_2}$

$\dfrac{L}{v}-\dfrac{L}{v_2}=\dfrac{L_1}{v_1}-\dfrac{L_1}{v_2}$

$L\left(\dfrac{1}{v}-\dfrac{1}{v_2}\right)=L_1\left(\dfrac{1}{v_1}-\dfrac{1}{v_2}\right)$

$L=L_1\cdot\dfrac{\dfrac{1}{v_1}-\dfrac{1}{v_2}}{\dfrac{1}{v}-\dfrac{1}{v_2}}$

Заметим, что если величины v, v₁ и v₂ выражены в одних и тех же единицах измерения, то дробь является безразмерной величиной. Тогда, величина L будет получена в тех же единицах измерения, что и L₁, то есть в дюймах.

$L=L_1\cdot\left(\dfrac{1}{v_1}-\dfrac{1}{v_2}\right):\left(\dfrac{1}{v}-\dfrac{1}{v_2}\right)$

$L=4\cdot\left(\dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{45}\right):\left(\dfrac{1}{36}-\dfrac{1}{45}\right)=4\cdot\left(\dfrac{3}{90}-\dfrac{2}{90}\right):\left(\dfrac{5}{180}-\dfrac{4}{180}\right)=$

$=4\cdot\dfrac{1}{90}:\dfrac{1}{180}=4\cdot\dfrac{1}{90}\cdot180=4\cdot2=8$

Ответ: 8 дюймов