Question

Нехай Х та Y незалежні в.в. рівномірно розподілені на [0,2]. Знайти функцію розподілу для  max(X,Y).

Answer 1

Ответ:

$F_{\max(X,Y)}(t)=\left\{\begin{array}{c}0,x<0\\\dfrac{x^2}{4},0\leq x<2\\1, x\geq 2\end{array}\right.$

Пошаговое объяснение:

Обозначим функцию распределения СВ $X,Y$ через $F(t)=F_X(t)=F_Y(t)=\left\{\begin{array}{c}0,x<0\\\dfrac{x}{2},0\leq x<2\\1, x\geq 2\end{array}\right.$

Обозначим $Z=\max(X,Y)$.

По определению функции распределения

$F_Z(t)=P(Z<t)=P(\max(X,Y)<t)=P(X<t,Y<t)=(*)$

Т.к. $X,Y$ независимы, то и события $X<t, Y<t$ также независимы:

$(*)=P(X<t)P(Y<t)=F_X(t)F_Y(t)=F^2(t)$

Значит,

$F_Z(t)=\left\{\begin{array}{c}0,x<0\\\dfrac{x^2}{4},0\leq x<2\\1, x\geq 2\end{array}\right.$