Question

найти допустимые экстремалы функционала
l[y]=integral 1 0 (4y-4xy'+y'^2)dx y(0)=1,y(1)=4​

Answer 1

Ответ:

$y=3x+1$

Пошаговое объяснение:

$I[y]=\int\limits_0^1\underbrace{(4y-4xy'+y'^2)}_{F(x,y,y')}dx, y(0)=1,y(1)=4$

$F_y=4;F_{y'}=4x+2y'\Rightarrow (F_{y'})_x=4+2y''$

Тогда соответствующее уравнение Эйлера имеет вид:

$4+2y''=4\Leftrightarrow y''=0\Leftrightarrow y=C_1 x+C_2$

Учтем граничные условия:

$\left\{\begin{array}{c}C_2=1\\C_1+C_2=4\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}C_2=1\\C_1=3\end{array}\right.$

Значит, $y=3x+1$ - допустимая экстремаль рассматриваемого функционала