Question

Найти sin2a , ctga-tga=7/12 0 < a < п/2

Answer 1

Воспользуемся формулой для выражения синуса через тангенс половинного угла (универсальная тригонометрическая подстановка):

$\sin2a=\dfrac{2\mathrm{tg}\,a}{1+\mathrm{tg}^2\,a}$

Следовательно, нужно найти тангенс.

$\mathrm{ctg}\,a-\mathrm{tg}\,a=\dfrac{7}{12}$

$\dfrac{1}{\mathrm{tg}\,a} -\mathrm{tg}\,a=\dfrac{7}{12}$

$12-12\mathrm{tg}^2\,a=7\mathrm{tg}\,a$

$12\mathrm{tg}^2\,a+7\mathrm{tg}\,a-12=0$

$D=7^2-4\cdot12\cdot(-12)=625$

$\mathrm{tg}\,a_1=\dfrac{-7-\sqrt{625} }{2\cdot12} =-\dfrac{4}{3}$

$\mathrm{tg}\,a_2=\dfrac{-7+\sqrt{625} }{2\cdot12} =\dfrac{3}{4}$

Заметим, что первое решение не удовлетворяет условию $0 < a <\dfrac{\pi }{2}$, так как тангенс в первой четверти принимает положительные значения.

Тогда, используя второе решение, находим требуемую величину:

$\sin2a=\dfrac{2\cdot\dfrac{3}{4}}{1+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{1+\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{2} :\dfrac{25}{16} =\dfrac{3}{2} \cdot\dfrac{16}{25} =\dfrac{24}{25} =0.96$

Ответ: 0.96