Question

Найти общее или частичное решение диф. уравнения.

Answer 1

$\left(x+1\right)y''+x\left(y'\right)^2=y'$

Обозначим $y'(x)=z(x)\implies y''(x)=z'(x)$.

$\displaystyle (x+1)z'+xz^2=z\,,\bigg|\cdot\frac{1}{z^2}\\[3ex]\frac{z'}{z^2}(x+1)+x=\frac{1}{z}\,,\\[3ex]\frac{z'}{z^2}(x+1)-\frac{1}{z}=-x\,,\\[3ex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({-\frac{1}{z}\big(x+1\big)}\right)={-x}\,,\\[3ex]\frac{x+1}{z}=\frac{x^2+C_1}{2}\,,\\[3ex] z=\frac{2\left(x+1\right)}{x^2+C_1}$

Сразу найдем константу $C_1$. По условию $y'(1)=z(1)=4$.

$\displaystyle 4=\frac{2\cdot 2}{1+C_1}\implies C_1=0$

Возвращаемся к $y(x)$.

$\displaystyle y'(x)=\frac{2\left(x+1)}{x^2}=\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}\,,\\[3ex] y(x)=2\ln|x|-\frac{2}{x}+C_2\,,\\[3ex] y(1)=-2\implies -2=0-2+C_2\implies C_2 = 0$

Итого,

$\displaystyle y(x)=2\ln|x|-\frac{2}{x}$.

Теперь стоит вспомнить, что в самом начале решения мы делили на $z^2$. Убедимся, что $z(x)=0$ не является решением данной задачи.

Действительно,

$z(x)=0\iff y'(x)=0$

Однако

$y'(1)=0\neq 4$

Ответ. $\displaystyle y(x)=2\ln|x|-\frac{2}{x}$