Question

Серед наведених інтегралів укажіть той, значення якого найменше: *

Answer 1

A)     $\displaystyle\\\\\int\limits_0^1dx\,= x\ \Bigg|_0^1\,=1 - 0 = \boldsymbol{1}$

Б)    $\displaystyle\\\\\int\limits_0^1x\,dx\,=\dfrac{x^2}{2}\ \Bigg|_0^1\,= \dfrac{1}{2} - \dfrac{0}{2} = \dfrac{1}{2} - 0 = \boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$

В)   $\displaystyle\\\\\int\limits_0^1x^2\,dx\,= \dfrac{x^3}{3}\ \Bigg|_0^1\, = \dfrac{1}{3} - \dfrac{0}{3} = \dfrac{1}{3} - 0 = \boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$

Г)   $\displaystyle\\\\\int\limits_0^1x^3\,dx\,=\dfrac{x^4}{4}\ \Bigg|_0^1\,=\dfrac{1}{4} - \dfrac{0}{4} = \dfrac{1}{4} - 0 = \boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$

Д)   $\displaystyle\\\\\int\limits_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{x}}$

Найдём для начала неопределённый интеграл.

$\displaystyle\\\\\int\dfrac{dx}{\sqrt{x}} = \int\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \int x^{-\frac{1}{2}}\,dx = \dfrac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} = \dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}}} = \boldsymbol{2\sqrt{x}}$

Вычислим теперь определённый интеграл.

$2\sqrt{x}\ \Bigg|_0^1\,= 2\sqrt{1} - 2\sqrt{0} = 2\cdot 1 - 2\cdot 0 = 2 - 0 = \boldsymbol{2}$

Значит,    $\displaystyle\\\\\int\limits_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{x}} = \boldsymbol{2}$   .

Ответ: наименьшее значение имеет интеграл Г.