Математический анализ!!!!!!
Ответы
Ответ:
Дифференцирование сложных и неявно заданных функций.
Печать
Рейтинг: 4 / 5Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активна
Пожалуйста, оцените
Оценка 5
Дифференцирование сложных и неявно заданных функций.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Сложные функции одной и нескольких независимых переменных.
Если u=f(x1,x2,..,xn)− дифференцируемая функция переменных x1,x2,...,xn, которые сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t:
x1=φ1(t),x2=φ2(t),,xn=φn(t),
то производная сложной функции u=f(φ1(t)),φ2(t),φn(t)) вычисляется по формуле
dudt=∂u∂x1.dx1dt+∂u∂x2.dx2dt+...+∂u∂xn.dxndt.
В частности, если t совпадает, например, с переменной x1, то "полная" производная функции u по x1 равна
dudx1=∂u∂x1+∂u∂x2⋅dx2dx1+...+∂u∂xn⋅dxndx1.
Пусть u=f(x1,x2,..,xn), где
x1=φ1(t1,t2,...,tm),x2=φ2(t1,t2,...,tm),,xn=φn(t1,t2,...,tm),
(t1,t2,...,tm)− независимые переменные. Частные производные функции u по t1,t2,...,tm выражаются следующим образом:
∂u∂t1=∂u∂x1⋅∂x1∂t1+∂u∂x2⋅∂x2∂t1+...+∂u∂xn⋅∂xn∂t1,
∂u∂t2=∂u∂x1⋅∂x1∂t2+∂u∂x2⋅∂x2∂t2+...+∂u∂xn⋅∂xn∂t2,
⋯
∂u∂tm=∂u∂x1⋅∂x1∂tm+∂u∂x2⋅∂x2∂tm+...+∂u∂xn⋅∂xn∂tm.
При этом выражение для дифференциала 1-го порядка сохраняет свой вид
du=∂u∂x1dx1+∂u∂x2dx2+...+∂u∂xndxn.
Выражения для дифференциалов высших порядков сложной функции, вообще говоря, отличаются от выражения вида
dmu=(∂∂x1dx1+∂∂x2dx2+...+∂∂xndxn)mu.
Например, дифференциал 2-го порядка выражается формулой
d2u=(∂∂x1dx1+∂∂x2dx2+...+∂∂xndxn)2u+
+∂u∂x1d2x1+∂u∂x1d2x2+...+∂u∂xnd2xn.
Неявные функции одной и нескольких независимых переменных.
Пусть уравнение f(x,y)=0, где f− дифференцируемая функция переменных x и y определяет y как функцию x. Первая производная этой неявной функции y=y(x) в точке x0 выражается по формуле
dydx∣∣∣x0=−f′x(x0,y0)f′y(x0,y0)(1)
при условии, что f′y(x0,y0)≠0, где y0=y(x0),f(x0,y0)=0.
Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием формулы (1).
Примеры:
7.114. Найти dzdt, если z=e2x−3y, где x=tgt,y=t2−t.
Решение.
Мы будем пользоваться формулой
dudt=∂u∂x1.dx1dt+∂u∂x2.dx2dt+...+∂u∂xn.dxndt.
Найдем частные производные:
∂z∂x=e2x−3y(2x−3y)′x=2e2x−3y;
∂z∂y=e2x−3y(2x−3y)′y=−3e2x−3y;
dxdt=1cos2t;
dydt=2t−1.
Отсюда
dzdt=2e2x−3y1cos2t−3e2x−3y(2t−1)=2e2tgt−3(t2−2)cos2t−3e(2tgt−3t2−