Question

Точка А(4;2) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x-y-1=0. Составьте уравнение диагонали этого квадрата, проходящей через точку А. Сделайте чертеж

Answer 1

Точка А(4;2) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x-y-1=0.

Составить уравнение диагонали этого квадрата, проходящей через точку А.

Точка А(4;2) не лежит на заданной прямой x-y-1=0 (определяется подстановкой координат точки в уравнение прямой).

Значит, находим уравнение ещё одной стороны АВ как перпендикуляра к этой прямой, проходящей через точку А.

Это перпендикуляр к стороне ВС. У него коэффициенты общего уравнения Ax + By + C = 0 меняются по сравнению  с ВС на –В и А.

Получаем x + y + C = 0. Для определения слагаемого С подставим координаты точки А: 4 + 2 + С = 0, отсюда С = -4 - 2 = -6.

Уравнение ВС: x + y – 6 = 0.

Если прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0, то вектор -B и A  является направляющим вектором данной прямой.

Поэтому угловой коэффициент прямой АВ равен -1/1 = -1.

Угол наклона этой прямой к оси Ох равен arctg(-1) = 135 градусов.

Диагональ АС проходит правее АВ, поэтому её угол на 45 градусов меньше.

Получаем, что угол наклона АС к оси Ох равен 135 - 45 = 90 градусов.

Это вертикальная прямая, её уравнение х = 4 (по точке А).

Ответ: уравнение диагонали АС: х = 4.