Question

$\frac{\sqrt{x+4}}{1-x} \ \textless \ 1$

решить неравенство!!

Answer 1

$\frac{ \sqrt{x + 4} }{1 - x} < 1$

Находим ОДЗ:

x + 4 < 0

1 - x = 0

x < - 4.

x = 1.

Находим объединение.

x ∈ ( -∞, -4) ∪ {1}.

x ∈ [ -4, 1) ∪ (1, +∞).

$\frac{ \sqrt{x + 4} }{1 - x} - 1 < 0 \\ \\ \\ \frac{ \sqrt{x + 4} - 1 + x }{1 - x} < 0 \\ \\ \\ \sqrt{x + 4} - 1 + x < 0 \\ 1 - x > 0$

Решаем первую систему неравенств.

$\sqrt{x + 4} < 1 - x \\ \\ \\ \sqrt{x + 4} < 1 - x \\ 1 - x \geqslant 0 \\ \\ \\ \sqrt{x + 4} < 1 - x \\ 1 - x < 0$

x ∈ ( -∞, 3 - √21 / 2).

x ∈ ∅.

$\sqrt{x + 4} - 1 + x > 0$

Решаем вторую систему неравенств.

$\sqrt{ x + 4} > 1 - x \\ \\ \\ \sqrt{x + 4} > 1 - x \\ 1 - x \geqslant 0 \\ \\ \\ \sqrt{x + 4} > 1 - x \\ 1 - x < 0$

x ∈ ( 3 - √21 / 2; 1].

x ∈ ( 1; +∞).

Находим объединение.

x ∈ ( -∞; 3 - √21 / 2) ∪ (1; +∞).

x ∈ [ -4; 1) ∪ (1; +∞).

Находим пересечение.

x ∈ [ -4; 3 - √21 / 2) ∪ (1; +∞).

Ответ: x ∈ [ -4; 3 - √21 / 2) ∪ (1; +∞).