Question

Доброго времени суток господа, мне нужна помощь с логарифмическим неравенством.

14log2(r)−40≥(log2(r))^2

Answer 1

Ответ:

r €[16;1024]

Пошаговое объяснение:

ОДЗ:

r>0

$14 \times log_{2}r - 40 \geqslant { log_{2} }^{2} r \\ - { log_{2} }^{2} r + 14 \times log_{2}r - 40 \geqslant 0 | \div ( - 1) \\ { log_{2} }^{2} r - 14 \times log_{2}r + 40 \leqslant 0$

логарифмическое квадратное неравенство, замена переменной:

$log_{2}r = t \\ {t}^{2} - 14t + 40 \leqslant 0$

метод интервалов:

1).

${t}^{2} - 14t + 40 = 0 \\ t_{1} =10 \\ t _{2} = 4$

3).

+++++[4] ------ [10] ++++++> t

4).

$t \geqslant 4 \\ t \leqslant 10$

обратная замена:

$t \geqslant 4 \\ log_{2}r \geqslant 4 \\ 4 = log_{2} {2}^{4} = log_{2}16 \\ log_{2} r\geqslant log_{2}16$

простейшее логарифмическое неравенство, основание логарифма а=2, 2>1, => знак неравенства не меняем

$r \geqslant 16$

$t \leqslant 10 \\ log_{2}r \leqslant 10 \\ log_{2}r \leqslant log_{2} {2}^{10} \\ log_{2}r \leqslant log_{2}1024 \\ r \leqslant 1024$

учитывая ОДЗ, получим

r€[16; 1024]

,знак € читать "принадлежит"