Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=3\, cost\\y=8sint\end{array}\right\ \ ,\ \ \ y=4\ \ (y\geq 4)\\\\\\8sint=4\ \ ,\ \ sint=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ t=(-1)^{n}\cdot \frac{\pi}{6}+\pi n\ ,\ n\in Z\ \ ,\ \ \ 0<t<\pi \ ,$

$t_1=\dfrac{\pi}{6}\ ,\ \ t_2=\dfrac{5\pi }{6}$

$S=2\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2}\, x(t)\cdot y'(t)\, dt=2\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2}\, 3\, cost\cdot (8cost)\, dt=2\cdot 24\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2}\, cos^2t\, dt=$

$\displaystyle =2\cdot 24\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2}\, \frac{1+cos2t}{2}\, dt=24\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2}\, (1+cos2t)\, dt=24\cdot \Big(t+\frac{1}{2}\, sin2t\Big)\Big|_{\pi /6}^{\pi /2}=\\\\\\=24\cdot \Big(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}sin\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{1}{2}sin\frac{\pi}{3}\Big)=24\cdot \Big(\frac{2\pi }{6}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}\Big)=8\pi -6\sqrt3$