Question

Положительные числа sin x, sin y, cos x, cos y в указанном порядке являются членами геометрической прогрессии. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Answer 1

Ответ:

1

Объяснение:

Чтобы найти знаменатель прогрессии, нужно любой член, кроме первого, разделить на предыдущий.

И результаты каждого деления должны быть равны друг другу.

$\frac{sin(y)}{sin(x)} =\frac{cos(x)}{sin(y)} =\frac{cos(y)}{cos(x)}$

Из 1 равенства:

sin^2 y = sin x*cos x

Из 2 равенства:

cos^2 x = sin y*cos y

Умножим на 2 каждое из уравнений:

{ 2sin^2 y = 2sin x*cos x = sin 2x

{ 2cos^2 x = 2sin y*cos y =  sin 2y

Приведем левые части к косинусу двойного угла:

{ 1 - 2sin^2 y = 1 - sin 2x = cos 2y

{ 2cos^2 x - 1 = sin 2y - 1 = cos 2x

Получили систему:

{ cos 2x = sin 2y - 1

{ cos 2y = 1 - sin 2x

Возведем в квадрат левые и правые части уравнений:

{ cos^2 (2x) = (sin 2y - 1)^2

{ cos^2 (2y) = (1 - sin 2x)^2

Раскрываем скобки:

{ 1 - sin^2 (2x) = sin^2 (2y) - 2sin 2y + 1

{ 1 - sin^2 (2y) = sin^2 (2x) - 2sin 2x + 1

Вычитаем 1 слева и справа:

{ - sin^2 (2x) = sin^2 (2y) - 2sin 2y

{ - sin^2 (2y) = sin^2 (2x) - 2sin 2x

Подставляем sin^2 (2x) из 1 уравнения во 2 уравнение

- sin^2 (2y) = - sin^2 (2y) + 2sin 2y - 2sin 2x

Сокращаем подобные:

0 = 2sin 2y - 2sin 2x

2sin 2x = 2sin 2y

sin 2x = sin 2y

Значит, 2x отличается от 2y на целое количество периодов k ∈ Z

Например, при x = y = pi/4 + 2pi*n, n ∈ Z будет:

sin x = cos x = sin y = cos y = 1/√2

Знаменатель прогрессии равен 1.