Question

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 14, а сумма их квадратов равна 84. Найти первый член прогрессии, ее знаменатель и сумму первых шести членов

Answer 1

$S_3=dfrac{b_1(1-q^3)}{1-q}=dfrac{b_1(1-q)(1+q+q^2)}{1-q}=b_1(1+q+q^2)14$

$b_1^2+b_2^2+b_3^2=b_1^2+(b_1q)^2+(b_1q^2)^2=b_1^2(1+q^2+q^4)=84$

Заметим, что $1+q^2+q^4=q^4+2q^2+1-q^2=(q^2+1)^2-q^2=(q^2+q+1)(q^2-q+1)$

Решаем систему уравнений:

$displaystyle left { {{b_1^2(1+q^2+q)(q^2-q+1)=84} atop {b_1(q^2+q+1)=14}} right.~~~left { {{14b_1(q^2-q+1)=84} atop {b_1(q^2+q+1)=14}} right.\ \ -dfrac{left {displaystyle {{b_1(q^2-q+1)=6} atop {b_1(q^2+q+1)=14}} right.}{2b_1q=8~Rightarrow b_1q=4}$

$b_1(q^2-q+1)=6~~|cdot q\ b_1q(q^2-q+1)=6q\ 4(q^2-q+1)=6q\ 4q^2-4q+4=6q\ 4q^2-10q+4=0~~|:2\ 2q^2-5q+2=0\ D=(-5)^2-4cdot2cdot2=9\ \ q_1=dfrac{5+3}{2cdot2}=2;~~~~~~~~b_1=dfrac{4}{q_1}=dfrac{4}{2}=2\ \ \ q_2=dfrac{5-3}{2cdot2}=dfrac{1}{2};~~~~~~~~~b_1^*=dfrac{4}{q_2}=dfrac{4}{dfrac{1}{2}}=8$

Найдем сумму первых шести членов геометрической прогрессии

1) для q=2 и b1 = 2

$S_6=dfrac{2cdot (1-2^6)}{1-2}=126$

2) Для q=1/2 и b1 = 8

$S_6=dfrac{8cdotbigg(1-bigg(dfrac{1}{2}bigg)^6bigg)}{1-dfrac{1}{2}}=15.75$