Question

Найти корни уравнения, принадлежащие интервалу. То есть, сначала надо решить уравнение, а потом отобрать корни. Уравнение в прикреплённом файле.

Answer 1

Ответ:

$cosx-sinx=4cosx\, sin^2x\\\\cosx-sinx=2\cdot (\underbrace{2cosx\cdot sinx}_{sin2x})\cdot sinx\\\\cosx-sinx=2\, sin2x\cdot sinx\\\\cosx-sinx=2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \Big(cos(2x-x)-cos(2x+x)\Big)\\\\\displaystyle cosx-sinx=cosx-cos3x\\\\cos3x-sinx=0\\\\cos3x-cos\Big(\frac{\pi}{2}-x\Big)=0\\\\-2\cdot sin\dfrac{3x+\frac{\pi}{2}-x}{2}\cdot sin\dfrac{3x-\frac{\pi}{2}+x}{2}=0\\\\sin\Big(x+\dfrac{\pi }{4}\Big)\cdot sin\Big(2x-\dfrac{\pi}{4}\Big)=0$

$\displaystyle a)\ \sin\Big(x+\dfrac{\pi }{4}\Big)=0\ \ ,\ \ x+\frac{\pi}{4}=\pi n\ \ ,\ \ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ sin\Big(2x-\dfrac{\pi}{4}\Big)=0\ \ ,\ \ 2x-\frac{\pi}{4}=\pi k\ \ ,\ \ 2x=\frac{\pi}{4}+\pi k\ \ ,\ \ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}\ ,\ k\in Z\\\\c)\ \ x\in \Big[-\frac{\pi }{2}\, ;\ \frac{\pi }{2}\ \Big]:\ x=-\frac{3\pi}{8}\ ,\ -\frac{\pi}{4}\ ,\ \frac{\pi }{8}\ .\\\\\\Otvet:\ \ a)\ \ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n\ ,\ \ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}\ ,\ \ n,k\in Z\ ;$

              $b)\ \ x=-\dfrac{3\pi}{8}\ ,\ -\dfrac{\pi}{4}\ ,\ \dfrac{\pi }{8}\ .$