В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка М - середина ребра SA, точка К - середина ребра SB. Найдите угол между плоскостями CMK и АВС, если SC = 6, BC = 4.
С решением, пожалуйста
Ответы
Ответ:
Отрезок MK — средняя линия треугольника SAB, следовательно, MK || AB. Значит, через MK можно провести плоскость параллельную плоскости ABC и, так как MK ⊂ CMK, MK параллельна прямой пересечения плоскостей CMK и ABC.
Треугольник CMK — равнобедренный. Проведем перпендикуляр CQ к MK, Q — середина MK. Из точки Q опустим перпендикуляр QP на плоскость основания. Точка P лежит на CL — медиане треугольника ABC, P — середина LO. CL ⊥ AB, следовательно, CL ⊥ MK и CQ ⊥ MK. Таким образом, ∠QCP — линейный угол искомого угла.
Далее находим:
SO= корень из SC в степени 2 минус CO в степени 2 = корень из 6 в степени 2 минус левая круглая скобка дробь, числитель — 4 умножить на корень из 3, знаменатель — 3 правая круглая скобка в степени 2 =2 корень из дробь, числитель — 23, знаменатель — 3 .
Откуда QP= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 SO= корень из дробь, числитель — 23, знаменатель — 3 ,CL= дробь, числитель — корень из 3, знаменатель — 2 BC=2 корень из 3.
Поскольку CP= дробь, числитель — 5, знаменатель — 6 CL= дробь, числитель — 5, знаменатель — 3 корень из 3= дробь, числитель — 5, знаменатель — корень из 3 , имеем: tg\angle QCP= дробь, числитель — корень из 23 умножить на корень из 3, знаменатель — корень из 3 умножить на 5= дробь, числитель — корень из 23, знаменатель — 5 .
Ответ: \arctg дробь, числитель — корень из 23, знаменатель — 5 .