Question

Число 2021 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 2020 ∙ 2021 записали в виде произведения простых
чисел. Сколько раз записали число 2? Ответ пояснить.

Answer 1

Не совсем понятно условие, но если число 1 * 2 * 3 * ... * 2020 * 2021, то вот решение:

Нас интересуют только четные числа. Но не во всех четных числах двойка присутствует лишь в первой степени. Максимальная степень двойки в числах будет 10, потому что 2^11 это 2048. Мы посчитаем вплоть до 2047, а потом вручную отнимем лишнее:

С 2^10 = 1024 есть 1024, это 10*1 двоек

С 2^9 = 512 есть 512 и 1536, это 9*2 двоек.

1024 не посчитали, потому что оно уже учтено в 10 степени.

С 2^8 = 256 есть 256,768,1280,1792, это 8*4 двоек.

С 2^7 = 128 есть 128,384,640,896,1152,1408,1664,1920, это 7*8 двоек.

Уже видна закономерность. Общая формула получается такой:

$a_{n} = 2^{10 - n} * n$, где n - степень двойки

Посчитаем вручную 10*1 + 9*2 + 8*4 + 7*8 + 6*16 + 5*32 + 4*64 + 3*128 + 2*256 + 1*512 = 10 + 18 + 32 + 56 + 96 + 160 + 256 + 384 + 512 + 512 = 2036.

Между 2021 и 2047 есть числа 2022, 2023, 2024, 2025, 2026, 2027, 2028,  2029, 2030, 2031, 2032, 2033, 2034, 2035, 2036, 2037, 2038, 2039, 2040, 2041, 2042, 2043, 2044, 2045, 2046, 2047.

Нечетные не делятся на 2, остаются только четные. 2022 содержит 1 двойку. 2024 содержит 3 двойки. 2026 содержит 1. 2028 содержит 2. 2030 содержит 1. 2032 содержит 4. 2034 содержит 1. 2036 содержит 2. 2038 содержит 1. 2040 содержит 3. 2042 содержит 1. 2044 содержит 2. 2046 содержит 1. Итого получается 23 двойки. Отнимаем от 2036 и получаем 2013.

Ответ: 2013