Question

Решите уравнение в действительных числах:
$(x+yi)^6=x-yi$

Answer 1

$(x+yi)^6=x-yi$

Заметим, что если $z=x+yi$, то $\overline{z}=x-yi$. Тогда, уравнение примет вид:

$z^6=\overline{z}$

Представим комплексное число $z$ в тригонометрической форме:

$z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ \rho=|z|,\ \varphi=\arg z$

Тогда:

$\overline{z}=\rho(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))$

Уравнение принимает вид:

$(\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi))^6=\rho(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))$

По формуле Муавра левую часть уравнения возводим в степень:

$\rho^6(\cos6\varphi+i\sin6\varphi)=\rho(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))$

Заметим, что при $\rho=0$ левая часть равна правой, то есть ситуации $\rho=0$ соответствует решение уравнения. Модуль, равный нулю, имеет только одно комплексное число: $z=0+0i$. Таким образом, найдено первое решение:

$(x_1;\ y_1)=(0;\ 0)$

Перерь рассмотрим случай $\rho\neq 0$. Тогда обе части уравнения разделим на $\rho$:

$\rho^5(\cos6\varphi+i\sin6\varphi)=\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)$

Два комплексных числа равны, когда равны их модули и равны их аргументы. Однако, при записи равенства аргументов нужно учесть периодичность синуса и косинуса. Получим условие равенства:

$\begin{cases} \rho^5=1\\ 6\varphi=-\varphi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\end{cases}$

$\begin{cases} \rho=1\\ 7\varphi=2\pi n\end{cases}$

$\begin{cases} \rho=1\\ \varphi=\dfrac{2\pi n}{7},\ n\in\mathbb{Z} \end{cases}$

Таким образом, известны модули и аргументы комплексных чисел - решений. По этим данным нужно найти их действительные и мнимые части, используя формулы перехода:

$\begin{cases} x=\rho\cos\varphi\\ y=\rho\sin\varphi\end{cases}$

Заметим, что всего будет найдено 7 различных решений по данным формулам, так как для некоторого числа $n=7k+m,\ k\in\mathbb{Z},\ m\in\{0;\ 1;\ \ldots;\ 6\}$ можно показать:

$\cos\dfrac{2\pi n}{7}=\cos\dfrac{2\pi (7k+m)}{7}=\cos\dfrac{2\pi\cdot7k+2\pi m}{7}=\cos\left(2\pi k+\dfrac{2\pi m}{7}\right)=\cos\dfrac{2\pi m}{7}$

$\sin\dfrac{2\pi n}{7}=\ldots=\sin\dfrac{2\pi m}{7}$

Значит, для нахождения решений достаточно рассмотреть 7 целых чисел, имеющих различные остатки при делении на 7, например, числа от 0 до 6:

$(x_2;\ y_2)=\left(1\cdot \cos\dfrac{2\pi\cdot0}{7} ;\ 1\cdot \sin\dfrac{2\pi\cdot0}{7}\right)=\left(1;\ 0\right)$

$(x_3;\ y_3)=\left(1\cdot \cos\dfrac{2\pi\cdot1}{7} ;\ 1\cdot \sin\dfrac{2\pi\cdot1}{7}\right)=\left(\cos\dfrac{2\pi}{7} ;\ \sin\dfrac{2\pi}{7}\right)$

$(x_4;\ y_4)=\left(1\cdot \cos\dfrac{2\pi\cdot2}{7} ;\ 1\cdot \sin\dfrac{2\pi\cdot2}{7}\right)=\left(\cos\dfrac{4\pi}{7} ;\ \sin\dfrac{4\pi}{7}\right)$

$(x_5;\ y_5)=\left(1\cdot \cos\dfrac{2\pi\cdot3}{7} ;\ 1\cdot \sin\dfrac{2\pi\cdot3}{7}\right)=\left(\cos\dfrac{6\pi}{7} ;\ \sin\dfrac{6\pi}{7}\right)$

$(x_6;\ y_6)=\left(1\cdot \cos\dfrac{2\pi\cdot4}{7} ;\ 1\cdot \sin\dfrac{2\pi\cdot4}{7}\right)=\left(\cos\dfrac{8\pi}{7} ;\ \sin\dfrac{8\pi}{7}\right)$

$(x_7;\ y_7)=\left(1\cdot \cos\dfrac{2\pi\cdot5}{7} ;\ 1\cdot \sin\dfrac{2\pi\cdot5}{7}\right)=\left(\cos\dfrac{10\pi}{7} ;\ \sin\dfrac{10\pi}{7}\right)$

$(x_8;\ y_8)=\left(1\cdot \cos\dfrac{2\pi\cdot6}{7} ;\ 1\cdot \sin\dfrac{2\pi\cdot6}{7}\right)=\left(\cos\dfrac{12\pi}{7} ;\ \sin\dfrac{12\pi}{7}\right)$

Ответ:

$(0;\ 0);\ (1;\ 0);\ \left(\cos\dfrac{2\pi}{7} ;\ \sin\dfrac{2\pi}{7}\right);\ \left(\cos\dfrac{4\pi}{7} ;\ \sin\dfrac{4\pi}{7}\right);\ \left(\cos\dfrac{6\pi}{7} ;\ \sin\dfrac{6\pi}{7}\right);\\ \left(\cos\dfrac{8\pi}{7} ;\ \sin\dfrac{8\pi}{7}\right);\ \left(\cos\dfrac{10\pi}{7} ;\ \sin\dfrac{10\pi}{7}\right);\ \left(\cos\dfrac{12\pi}{7} ;\ \sin\dfrac{12\pi}{7}\right)$