На рисунке отрезки АК, ВМ, СМ и DK - биссектрисы углов параллелограмма ABCD. Отрезки ВМ и АК пересекаются в точке N, а отрезки DK и СМ - в точке Р, при этом МК = 4. Найдите длину отрезка NP.
Ответы
Отрезки АК, ВМ, СМ и DK - биссектрисы углов параллелограмма ABCD. Отрезки ВМ и АК пересекаются в точке N, а отрезки DK и СМ - в точке Р, при этом МК = 4. Найдите длину отрезка NP.
Объяснение:
Докажем , что АВСD- прямоугольник. Для этого нужно доказать , что а)противоположные стороны параллельны и б)углы прямые.
а)Обозначим углы как показано на чертеже. Учтем , что противоположные углы в параллелограмме равны , а значит равны их половины. Тогда ∠4=∠3 как накрест лежащие при ВС║АD , МС-секущая .Значит АК║МС , тк соответственные углы ∠2=∠3 при АD-секущей ⇒ NK║MP/
Аналогично NM║KP.
Значит четырехугольник MNKP-параллелограмм по определению.
б) В параллелограмме сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°. Поэтому в параллелограмме ABCD сумма половин углов ∠1+∠6=90°⇒ на третий угол в треугольниках ΔАВN и ΔCВH остается 180°-90 ° =90° ⇒ углы ∠MNK=∠MPK=90°. Поэтому на остальные два равных угла параллелограмма MNKP остается (360°-180°):2=90°.
Получили в параллелограмме MNKP все углы прямые⇒MNKP-прямоугольник.
По свойству диагоналей прямоугольника NP=МК=6 ед.
а надо NP=MK=4