Найдите уравнение геометрического места точек, сумма расстояний каждой из
которых от точки (12; 0) и от точки (-12; 0) равно 12√5. Определите
параметры и полярное уравнение кривой.
Ответы
Из условий задания определяем, что заданное геометрическое место точек - это эллипс по его определению:
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть постоянная величина, которая больше расстояния между фокусами.
Центр эллипса совпадает с началом координат (это следует из симметрии фокусов на оси Ох)
Также находим расстояние от центра до фокусов: с = 12 и расстояние от центра до вершин эллипса на главной оси а = (r1 + r2)/2 = 12√5/2 = 6√5.
Найдём величину b = √(a² - c²) = √((6√5)² - 12²) = √(180 - 144) = √36 = 6.
Это длина малой полуоси.
Получаем каноническое уравнение эллипса: (x²/a²) + (y²/b²) = 1.
(x²/(6√5)²) + (y²/6²) = 1.
Переходим к уравнению в полярной системе координат.
Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид:
r = p / (1 ± ε cos ϕ), p = b²/a, ε = c/a < 1.
где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс — в правый.
Примем полюс в левом фокусе, находим p = 6²/(6√5) = 6/√5 = 6√5/5.
e = 12/(6√5) = 2/√5 = 2√5/5 и подставляем в уравнение:
r = (6√5/5) / (1 - (2√5/5)* cos ϕ) = (6√5) / (5 - 2√5)* cos ϕ).
Ответ: r = (6√5) / (5 - 2√5)* cos ϕ).
