Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=arcctgx, x=1 и координатными осями ​

Answer 1

Объяснение:

$y=arcctgx\ \ \ \ y=0\ \ \ \ x=0\ \ \ \ x=1\ \ \ \ S=?$

$S=\int\limits^1_0 {(arcctgx-0)} \, dx =\int\limits^1_0 {arcctgx} \, dx =\left|\begin{array}{ccc}\int\limits fg'=fg-\int\limits f'g \\f=arcctgx\ \ g'=1\\f'=-\frac{1}{x^2+1}\ \ g=x \end{array}\right| .\\x*arcctgx-(-\int\limits {\frac{x}{x^2+1} }) \, dx =x*arcctgx+\int\limits {\frac{x}{x^2+1} } \, dx$

$\int\limits {\frac{x}{x^2+1} } \, dx =\left|\begin{array}{ccc}u=x^2+1\ \ \ du=2xdx\\dx=\frac{du}{2x} \\\end{array}\right| =\int\limits {\frac{x}{u} }(\frac{du}{2x})=\frac{1}{2} *\int\limits {\frac{du}{u} }=\frac{1}{2}*ln|u|=\\=\frac{ln(x^2+1)}{2}.$

$S=(x*arcctgx+\frac{ln(x^2+1)}{2})\ |_0^1=1*arcctg1+\frac{ln(1^2+1)}{2} -0*arcctg0-\frac{(ln(0^2+1)}{2} =\\=\frac{\pi }{4} +\frac{ln2}{2} -0=\frac{\pi +2*ln2}{4}=\frac{\pi +ln2^2}{4}=\frac{\pi +ln4}{4} .$

Ответ: S≈1,13197 кв.ед.