Question

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки P и Q и перпендикулярной к заданной плоскости: P(-4, 1, -1); Q(2, -4, -3); 5x - 4y - 3z +2=0

Answer 1

Ответ:  7x + 8y + z + 21 = 0 -  загальне рівняння шуканої площини .

Пошаговое объяснение:

P(-4, 1, -1); Q(2, -4, -3);   5x - 4y - 3z +2=0 . ( α )

Вектор n( 5 ;- 4 ;- 3 )  є нормальним вектором даної площини α .

Нехай т . М( x ; y ; z ) розміщена в шуканій площині β . Тоді в площині β

розміщені вектори PM( x = 4 ; y - 1 ; z + 1 ) ;  PQ( 6 ;- 5 ;- 2 ) і вектор n .

Мішаний добуток цих 3 - х векторів має дорівнювати 0 , тому

   |  x + 4   y - 1   z + 1  |

   |     6      - 5      - 2   |  = 0 .      Розписуємо цей визначник :

   |     5      - 4      - 3   |

15(x +4) - 24(z + 1) - 10(y - 1) + 25(z + 1) - 8(x + 4) + 18(y - 1) = 0 ;

15x + 60 - 24z - 24 - 10y + 10 + 25z + 25 - 8x - 32 + 18y - 18 = 0 ;    

7x + 8y + z + 21 = 0 -  загальне рівняння шуканої площини .

Answer 2

Надо найти третью точку в искомой плоскости.

Для этого используем точку пересечения перпендикуляра из точки Р с искомой плоскостью.

Направляющий вектор этой прямой равен нормальному вектору заданной плоскости, он равен (5; -4; -3).

Составляем уравнение перпендикулярной прямой РМ, где М - точка пересечения с заданной плоскостью.

(x + 4)/5 = (y - 1)/(-4) = (z + 1)/(-3).

Приравняем уравнения параметру t и выразим переменные.

(x + 4)/5 = (y - 1)/(-4) = (z + 1)/(-3) = t.

x = 5t - 4,

y = -4t + 1,

z = -3t - 1.

Подставим эти выражения в уравнение заданной плоскости.

5(5t - 4) - 4(-4t + 1) - 3(-3t - 1) +2=0,

25t - 20 + 16t - 4 - 9t + 3 + 2 = 0,

50t = 19, отсюда t = (19/50).

Подставим значение t уравнения координат:

x = 5(19/50) - 4 = -21/10,

y = -4(19/50) + 1 = -13/25,

z = -3(19/50) - 1 = -107/50.

Найдены координаты третьей точки искомой плоскости.

Теперь по трём точкам можно составить уравнение.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA             y - yA             z - zA

xB - xA         yB - yA            zB - zA

xC - xA         yC - yA            zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

     x - (-4)                y – 1                  z - (-1)

      2 - (-4)              (-4) – 1                 (-3) - (-1)

(-21/10) - (-4)      (-13/25) – 1         (-107/50) - (-1) = 0

    x - (-4)               y – 1                      z - (-1)

        6                       -5                              -2

   (19/10)              (-38/25)                     (-57/50) = 0

(x - (-4))(-5·(-57/50)-((-2)·(-38/25))- (y – 1)((6·(-57/50)-(-2)·(19/10)) + (z - (-1))((6·(-38/25)-(-5)·(19/10)) = 0

(133/50)(x - (-4)) + (76/25)(y – 1) + (19/50)(z - (-1)) = 0

(133/50)x + (76/25)y + (19/50)z + (399/50) = 0

7x + 8y + z + 21 = 0.

Ответ: уравнение плоскости 7x + 8y + z + 21 = 0.