Даны координаты вершин пирамиды А(10, 2,-1), В(4,-5,-3), С(8,3,5), D(0, 1, 8).
Найти угол между ребром AD и гранью АВС.
Ответы
Находим уравнение плоскости АВС из которого используются координаты нормального вектора этой плоскости.
Решение:
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0.
Подставим данные и упростим выражение:
x - 10 y - 2 z - (-1)
4 - 10 (-5) - 2 (-3) - (-1)
8 - 10 3 - 2 5 - (-1) = 0
x - 10 y - 2 z - (-1)
-6 -7 -2
-2 1 6 = 0
(x - 10)(-7·6-(-2)·1) - (y - 2)((-6)·6-(-2)·(-2)) + (z - (-1))((-6)·1-(-7)·(-2)) = 0.
(-40)(x - 10) + 40(y - 2) + (-20)(z - (-1)) = 0.
- 40x + 40y - 20z + 300 = 0.
2x - 2y + z - 15 = 0.
Нормальный вектор равен (2; -2; 1).
Вектор AD = (0-10; 1-2; 8-(-1)) = (-10; -1; 9).
Найдем угол между прямой
x - 10 = y - 2 = z + 1
-10 -1 9
и плоскостью 2x - 2y + z - 15 = 0
Направляющий вектор прямой имеет вид:
s = {-10; -1; 9}
Вектор нормали плоскости имеет вид:
q = {2; -2; 1}
Угол между прямой и плоскостью:
sin φ = | A · l + B · m + C · n | =
√(A² + B² + C²) · √(l² + m² + n²)
= | 2 · (-10) + (-2) · (-1) + 1 · 9 | =
√(2² + (-2)² + 1²)· √((-10)² + (-1)² + 9²)
= | -20 + 2 + 9 | =
√(4 + 4 + 1) · √(100 + 1 + 81)
= 9 =
√9 · √182
= 9 = 3√182 = 0,22237.
3√182 182
Угол равен 12,8486 градуса.