Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 1/a + 1/b + 1/ab = 1/5
Ответы
Ответ:
4 решения.
Пошаговое объяснение:
1/a + 1/b + 1/(ab) = 1/5
Умножаем всё на 5ab, избавляемся от дробей
5b + 5a + 5 = ab
5(a + b + 1) = ab
Очевидно, что или а, или b кратно 5.
Будем считать, что a кратно 5.
Тогда можно написать: a = 5k, где k - натуральное число.
5(5k + b + 1) = 5kb
5k + b + 1 = kb
5k + 1 = kb - b = b(k - 1)
b = (5k + 1)/(k - 1)
Выделим целую часть.
5k + 1 = 5(k-1) + 5 + 1 = 5(k-1) + 6
b = (5(k-1) + 6)/(k-1) = 5 + 6/(k-1)
Число b будет натуральным, только если 6 делится на (k-1) нацело.
А это будет только в таких случаях:
k - 1 = 1; k = 2; a = 5k = 10; b = 5 + 6/1 = 11
k - 1 = 2; k = 3; a = 5k = 15; b = 5 + 6/2 = 8
k - 1 = 3; k = 4; a = 5k = 20; b = 5 + 6/3 = 7
k - 1 = 6; k = 7; a = 5k = 35; b = 5 + 6/6 = 6
Таким образом, это уравнение имеет 4 решения в натуральных числах.